Desvio padrão

Em probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:

1. seja um número não-negativo;
2. use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos inicialmente.

Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão de um subconjunto em amostra.

O termo desvio padrão foi introduzido na estatística por Karl Pearson no seu livro de 1894: "Sobre a dissecção de curvas de frequência assimétricas".

Definição e cálculo

Desvio padrão de uma variável aleatória

O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como:

$\operatorname{\sigma} = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$

onde $\operatorname{E}(X)$ é o valor esperado de X.

Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, porque esses valores esperados não precisam existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que flui em uma distribuição de Cauchy é indefinido.

Desvio padrão amostral

Se uma variável aleatória $\operatorname{X}$ toma os valores $\operatorname{x}_1,\dots,\operatorname{x}_n$, então o desvio padrão para esta amostra de $n$ números (ou desvio padrão amostral) pode ser calculado da seguinte forma. Primeiro calcula-se a média de $\operatorname{X}$, $\overline{x}$, através de:

$\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$

(veja notação sigma). Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:

$s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}$

A divisão por $n-1$ aparece quando exigimos que a variância amostral $\operatorname{s}^2$ seja um estimador não tendencioso da variância populacional $\operatorname{\sigma}^2$.

Quando os dados estão agrupados(frequência) temos:

$s = \sqrt{\dfrac{1}{(\sum_{i=1}^k {f_i})-1} \sum_{i=1}^k ((x_i - \overline{x})^2 \times f_i)}$

onde $k$ é o número de observações diferentes.

Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculada como:

1. Para cada valor $x_i$ calcula-se a diferença $x_i - \overline{x}$ entre $x_i$ e o valor médio $\overline{x}$.
2. Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência.
3. Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência.
4. Divide-se este resultado por: (número de valores - 1), ou seja, $(n-1)$.Esta quantidade é a variância $s^2$.
5. Tome a raiz quadrática deste resultado.

O desvio padrão também pode ser calculado quando não se sabe a média dos dados. O cálculo é feito conforme a fórmula:

$s = \sqrt{\frac{\sum x_i^{2} - \frac{1}{n} (\sum x_i)^{2}}{n-1}}$

Propriedades

A distribuição normal.

De uma distribuição normal unimodal, gaussiana, simétrica, de afunilamento médio (ou mesocúrtica) podemos dizer o seguinte:

• 68% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a um desvio padrão.
• 95% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão.
• 99,7% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.

Esta informação é conhecida como a regra dos "68-95-99,7".

Ver também

• Coeficiente de variação
• Valor esperado
• Moda (estatística)
• Obliquidade
• Curtose

Ligações externas

• Índice de Sharpe, definição e exemplos práticos Aplicação do Desvio Padrão no Índice de Sharpe