Distribuição exponencial

A função densidade de probabilidade da distribuição exponencial para diferentes valores de λ.

A função distribuição acumulada da distribuição exponencial para diferentes valores de λ.

A distribuição exponencial é um tipo de distribuição contínua de probabilidade, representada por um parâmetro $\lambda$. Sua função de densidade pode ser expressa de duas maneiras equivalentes:

Em linguagem matemática	Em Português
$f(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix}{\color{Red}\lambda e^{-\lambda x}} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right. = \left\{\begin{matrix}{\color{Red}\frac{1}{\lambda} e^{\frac{-x}{\lambda}}} &,\; x \ge 0, \lambda > 0 \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$	A probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor não negativo no intervalo infinitesimal [x*, x*+dx] é ${\color{Red}\lambda e^{-\lambda x}}$. A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor negativo é zero.

Repare que existe uma família de distribuições exponenciais (e não apenas uma) - cada uma com um $\lambda$ (parâmetro lambda) diferente.

E sua função acumulada:

Em linguagem matemática	Em Português
$F(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} {\color{Red}1-e^{-\lambda x}}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$	A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a certo valor x* é ${\color{Red}1-e^{-\lambda x}}$, se x* for não-negativo, e 0, em caso contrário.

Propriedades

Valor Esperado

$\mathrm{E}[X] = \frac{1}{\lambda}. \!$

Variância

$\mathrm{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}. \!$

Falta de Memória

Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial, então sua probabilidade condicional obedece a equação:

$P(X > s + t\; |\; X > s) = P(X > t) \;\; \hbox{para todo}\ s, t \ge 0.$.

Isso significa que a probabilidade de que seja necessário esperar, por exemplo, mais que 30 segundos até que o evento aconteça, dado que esse evento não aconteceu antes de 20 segundos, é a mesma de que esse evento ocorra depois dos 10 segundos iniciais.

Função Característica

$\varphi_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - it}\ \hbox{com}\ it < \lambda\ \hbox{e}\ i = \sqrt{-1}$

Distribuições relacionadas

• Uma distribuição de Weibull $f(x;k,\lambda)$ reduz-se uma distribuição exponencial quando $k = 1$.