Distribuição geométrica

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Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição geométrica é constituída por duas funções de probabilidade discretas:

  • a distribuição de probabilidade do número X de tentativas de Bernoulli necessárias para alcançar um sucesso, suportadas pelo conjunto { 1, 2, 3, ... }, ou
  • a distribuição de probabilidade do número Y = X − 1 de insucessos antes do primeiro sucesso, suportadas pelo conjunto { 0, 1, 2, 3, ... }.

Se a probabilidade de sucesso de cada tentativa é p, então a probabilidade de n tentativas serem necessárias para ocorrer um sucesso é

P(X = n) = (1 - p)^{n-1}p\,

para n = 1, 2, 3, .... De forma equivalente, a probabilidade de serem necessários n insucessos antes do primeiro sucesso é

P(Y=n) = (1 - p)^n p\,

para n = 0, 1, 2, 3, ....

Em qualquer caso, a sequência de probabilidades é uma progressão geométrica.

Por exemplo, suponha um dado que é atirado repetidamente até à primeira vez que aparece um "1". A probabilidade de distribuição do número de vezes que o dado é atirado é suportado pelo conjunto infinito { 1, 2, 3, ... } e é uma distribuição geométrica com p = 1/6.

O valor esperado de uma variável aleatória geometricamente distribuída X é 1/p e a variância é (1 − p)/p2;

\ E(X) = \frac{1}{p}, \quad \mbox{var}(X) = \frac{1-p}{p^2}.

De forma equivalente, o valor esperado de uma variável aleatória geometricamente distribuída Y é (1 − p)/p, e a sua variância é (1 − p)/p2.

Como a sua distribuição contínua análoga (a distribuição exponencial), a distribuição geométria tem a propriadade de perda de memória. Isto significa que se se tentar repetir uma experiência antes do primeiro sucesso, então, dado que o primeiro sucesso ainda não ocorreu, a função de distribuição condicional do número de tentativas adicionais não depende de quantos insucessos foram observados até então. A distribuição geométrica é, de facto, a única distribuição discreta com esta propriedade.

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