Distribuição uniforme

A função densidade da distribuição uniforme em [a,b].

Em estatística e probabilidade, a distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades contínua mais simples de conceituar: a probabilidade de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral é proporcional ao tamanho do intervalo.

Seja [a,b] o espaço amostral. Então temos que a função densidade de probabilidade é:

Em linguagem matemática	Em Português
$f(x;a,b)=\left\{\begin{matrix}{\color{Red}\frac{1}{b-a}} &,\; a \le x \le b, \\ 0 &,\; c.c. \end{matrix}\right.$	A probabilidade de a variável aleatória X ocorrer no intervalo infinitesimal [x*, x*+dx] é ${\color{Red}\frac{1}{b-a}}$ se x estiver entre a e b, e zero em caso contrário.

Esta distribuição tem média $\frac {a + b}{2}\,$ e variância $\frac {(b - a)^2}{12}\,$.

Aplicações

Informática

A maioria das linguagens de programação, pacotes estatísticos ou planilhas de cálculo possuem um gerador de números aleatórios, que gera a partir de uma distribuição uniforme, com valores entre 0 e 1. Esse número é chamado de pseudo-aleatório, porque é possível repetir a mesma sequência a partir de uma mesma semente (valor inteiro).

Simulação de outras distribuições

Qualquer outra distribuição contínua, na qual a função distribuição acumulada seja invertível, pode ser simulada a partir da distribuição uniforme.

Seja U a distribuição uniforme com valores no intervalo [0,1], e X uma variável aleatória contínua com distribuição acumulada F(x). Então:

$X \sim F^{-1}(U)\,$

Para demonstrar, devemos provar que a chance de simular um valor de X entre a e b por esse método é igual à probabilidade da variável aleatória X gerar um valor entre a e b.

Por um lado, a chance de $F^{-1}(U) \in \left[ a , b \right]\,$ é igual à chance de $U \in \left[ F(a) , F(b) \right]\,$ (pela monotonicidade de F), e, como $0 \le F(a) \le F(b) \le 1\,$, essa chance é igual a F(b)-F(a).

Por outro lado, a chance de X gerar um valor entre a e b, é a chance de X gerar um valor menor ou igual a b menos a chance de X gerar um valor menor ou igual a a (onde usamos o fato de X ser contínua, ou seja, a probabilidade um ponto é zero). Usando a definição de distribuição acumulada, essa chance é F(b)-F(a).

Veja também

• Função exponencial

Ligações externas

• Calculadora - Distribuição uniforme

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