Distribuição uniforme

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A função densidade da distribuição uniforme em [a,b].

Em estatística e probabilidade, a distribuição uniforme é a distribuição de probabilidades contínua mais simples de conceituar: a probabilidade de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido no espaço amostral é proporcional ao tamanho do intervalo.

Outra maneira de se dizer "distribuição uniforme" seria "um número finito de resultados com chances iguais de acontecer".

Um simples exemplo de distribuição uniforme é lançar um dado não viciado. Os possíveis valores são 1,2,3,4,5,6, e a cada turno que o dado é jogado a probabilidade de cada valor é 1/6. Se dois dados são lançados e seus valores adicionados, a distribuição resultante não é mais uniforme pois as somas não são uma variável equiprovável.

A distribuição discreta uniforme em si não possui parâmetros. No entanto, é conveniente representar seus possíveis resultados com um intervalo fechado [a,b], sendo 'a' e 'b' considerados os principais parâmetros da distribuição. Com isso a função acumulada dessa distribuição é representada como

F(k;a,b)=\frac{\lfloor k \rfloor -a + 1}{b-a+1}


Seja [a,b] o espaço amostral. Então temos que a função densidade de probabilidade é:

Em linguagem matemática Em Português
 f(x;a,b)=\left\{\begin{matrix}{\color{Red}\frac{1}{b-a}} &,\; a \le x \le b, \\ 0 &,\; c.c. \end{matrix}\right. [1] A probabilidade de a variável aleatória X ocorrer no intervalo infinitesimal [x*, x*+dx] é {\color{Red}\frac{dx}{b-a}} se x estiver entre a e b, e zero em caso contrário.

Esta distribuição tem média \frac {a + b}{2}\, e variância \frac {(b - a)^2}{12}\,.

Estimação do máximo[editar | editar código-fonte]

Esse exemplo é descrito com uma amostra de k observações obtidas de uma distribuição uniforme no inteiros 1,2,\dots,N, com o problema de se estimar o N máximo. Esse problema é comumente como o Problema dos tanques alemães.

O estimador de variancia mínima não-enviesada para o máximo é dado por

\hat{N}=\frac{k+1}{k} m - 1 = m + \frac{m}{k} - 1

onde m é o maior valor da amostragem e k é o tamanho da amostra, sendo a amostragem sem reposição.

A fórmula pode ser entendida como:

"O valor máximo da amostra mais a média intervalar entre as observações na amostra".


Isto possui variância de

\frac{1}{k}\frac{(N-k)(N+1)}{(k+2)} \approx \frac{N^2}{k^2} \text{ para amostras pequenas } k \ll N


Aplicações[editar | editar código-fonte]

Informática[editar | editar código-fonte]

A maioria das linguagens de programação, pacotes estatísticos ou planilhas de cálculo possuem um gerador de números aleatórios, que gera a partir de uma distribuição uniforme, com valores entre 0 e 1. Esse número é chamado de pseudo-aleatório, porque é possível repetir a mesma sequência a partir de uma mesma semente (valor inteiro).

Simulação de outras distribuições[editar | editar código-fonte]

Qualquer outra distribuição contínua, na qual a função distribuição acumulada seja invertível, pode ser simulada a partir da distribuição uniforme.

Seja U a distribuição uniforme com valores no intervalo [0,1], e X uma variável aleatória contínua com distribuição acumulada F(x). Então:

X \sim F^{-1}(U)\,

Para demonstrar, devemos provar que a chance de simular um valor de X entre a e b por esse método é igual à probabilidade da variável aleatória X gerar um valor entre a e b.

Por um lado, a chance de F^{-1}(U) \in \left[ a , b \right]\, é igual à chance de U \in \left[ F(a) , F(b) \right]\, (pela monotonicidade de F), e, como 0 \le F(a) \le F(b) \le 1\,, essa chance é igual a F(b)-F(a).

Por outro lado, a chance de X gerar um valor entre a e b, é a chance de X gerar um valor menor ou igual a b menos a chance de X gerar um valor menor ou igual a a (onde usamos o fato de X ser contínua, ou seja, a probabilidade um ponto é zero). Usando a definição de distribuição acumulada, essa chance é F(b)-F(a).

Referências

  1. WALPOLE, Ronald E.; MYERS, Raymond H.; MYERS, Sharon L. e YE, Keying. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Pearson Education International. ISBN 0132047675. Página 172.

Veja também[editar | editar código-fonte]


Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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