Método de Newton

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As três primeiras iterações do método de Newton.

Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-se um ponto qualquer do domínio da função, calcula-se a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abcissas a fim de encontrar um novo ponto do domínio da função e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e f'(x_n) é a derivada da função f em xn.

Para que se obtenha sucesso na iteração deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim de escolher um valor estimado inicial adequado, para que a convergência de (xn) seja propícia. Para tanto existem apenas quatro condições a serem satisfeitas:

  • O intervalo delimitado deve conter a raiz de f;
  • A função f deve ser diferenciável em todo o intervalo;
  • A primeira derivada no intervalo não deve trocar de sinal;
  • A segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal.

Uma vez delimitado um intervalo que cumpra tais exigências, escolhe-se para o valor-inicial o ponto mais à esquerda se o produto da primeira pela segunda derivada for negativo, ou escolhe-se o ponto mais à direita se ocorrer o contrário, se o produto for positivo.

Este é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar sucessivas melhores aproximações de raízes (ou zeros) de uma determinada função real. A convergência frequentemente é rápida, em especial se a estimativa inicial (ou chute inicial) está "suficientemente próximo" da raiz da função. O método é atribuído a Sir Isaac Newton (1643-1727) e Joseph Raphson (1648-1715).

Em 1984, Allan J. Macleod num artigo da International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, mostrou que o método iterativo de Newton-Raphson para equações não lineares pode ser considerado um membro da família geral de um parâmetro de métodos de segunda ordem [1] .

Referências

  1. A.J. Macleod. "A generalization of Newton-Raphson" (em inglês). Int. J. Math. Ed. Sci. Tech., v.15, n.1 January 1984, pages 117-120.
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