Ponto fixo

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Uma função com três pontos fixos

Em matemática, define-se ponto fixo como o ponto que não é alterado por uma aplicação.

Mais precisamente falando, se f é uma função f:\mathbb{S} \to \mathbb{S}, um ponto fixo de f é todo ponto x^*\in\mathbb{S} tal que:

f(x^*)=x^*

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Toda aplicação linear possui um ponto fixo trivial (o vetor nulo):

T0=0

Toda função polinomial nos números complexos de grau n>1, possui pontos fixos:

P(x)=x equivale à equação polinomial:
P(x)-x=0 que possui solução pelo teorema fundamental da álgebra.

Pontos fixos atrativos[editar | editar código-fonte]

A iteração do ponto fixo xn+1 = cos xn com valor inicial x1 = -1.

Considere a seqüência em um espaço métrico \mathbb{X}:

  • x_0 = x_0 \in \mathbf{X}
  • x_{n+1}=f(x_n)

Suponha ainda que f(x) é contínua.

Sabe-se que se a seqüência é convergente, então a continuidade implica que x_n convirja para um ponto fixo.

Teoremas que garantem a existência de ponto fixo[editar | editar código-fonte]

A pergunta que surge é quais são as condições suficientes para que de fato ocorra um ponto fixo. Existem numerosos teoremas em diferentes partes da matemática que garantem que as funções, desde que satisfaçam determinadas condições, têm pelo menos um ponto fixo. Estes estão entre os resultados mais básicos qualitativos disponíveis. Tais teoremas de ponto fixo que se aplicam em geral fornecem informações valiosas.

São exemplos de teoremas de ponto fixo:

Métodos numéricos[editar | editar código-fonte]

Um método numérico bastante utilizado para encontrar o zero de uma função f(x) consiste em buscar o ponto fixo da aplicação: g(x)= x - \lambda f(x) A técnica consiste em encontrar um valor de \lambda para o qual g(x) possui um ponto fixo atrativo. O método de Newton é baseado nesta técnica.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

Em muitos campos, equilíbrio ou estabilidade são conceitos fundamentais que podem ser descritos em termos de pontos fixos. Por exemplo, em economia, um equilíbrio de Nash de um jogo é um ponto fixo de correspondência do jogo melhor resposta. Em física, mais precisamente na teoria das transições de fase, linearização perto de um ponto fixo instável levou ao prêmio Nobel de Wilson, com a invenção do grupo de renormalização, e da a explicação matemática do "fenômeno crítico".

O conceito de ponto fixo pode ser usado para definir a convergência de uma função.