Teorema do ponto fixo de Banach

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Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja \mathbb{X}\, um espaço métrico completo não vazio com uma métrica d\,.

Uma aplicação f:\mathbb{X}\to\mathbb{X}\, é dita uma contração uniforme, se existir uma constante 0\leq \beta<1\, tal que:

d\left(f(x),f(y)\right) \leq \beta d(x,y), \forall x,y\in\mathbb{X}\,

O teorema estabelece que existe um único ponto fixo x^*\in\mathbb{X}\,, ou seja:

f(x^*)=x^*\,

Demonstração da unicidade[editar | editar código-fonte]

Sejam x\, e y\, pontos fixos de f\,, então:

d(x,y)=d\left(f(x),f(y)\right) \leq \beta d(x,y),

o que implica d(x,y)=0\,, ou seja, x=y\,.

Demonstração da existência[editar | editar código-fonte]

Escolha um ponto qualquer x_0\in\mathbb{X}\, e construa a seqüência:

x_{n+1}=f(x_n),\forall n\ge 1

Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:

d(x_{n+k},x_n) \leq \sum_{j=1}^{k-1}d\left(x_{n+j},x_{n+j-1}\right)

Agora usando a definição de contração temos:

d(x_{n+j},x_{n+j-1}) \leq \beta^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)

De forma que:

d(x_{n+k},x_n) \leq \sum_{j=1}^{k-1}\beta^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right) \leq d(x_1,x_0) \beta^{n}\sum_{j=1}^{\infty}\beta^{j-1}

d(x_{n+k},x_n) \leq d(x_1,x_0)\frac{\beta^{n}}{1-\beta}\to 0, n\to \infty

Assim a x_n\, é uma sucessão de Cauchy e converge para algum ponto x^*\in\mathbb{X}\,

Devemos mostrar que x^*\, é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:

x_{n+1}=f(x_n)\,

Passando ao limite, usando a continuidade de f (o que segue da própria definição de contração), temos:

x^*=f(x^*)\,

E o resultado segue.

Ver também[editar | editar código-fonte]