Teorema do ponto fixo de Banach

Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.

Enunciado

Seja $\mathbb{X}\,$ um espaço métrico completo não vazio com uma métrica $d\,$.

Uma aplicação $f:\mathbb{X}\to\mathbb{X}\,$ é dita uma contração uniforme, se existir uma constante $0\leq \beta<1\,$ tal que:

$d\left(f(x),f(y)\right) \leq \beta d(x,y), \forall x,y\in\mathbb{X}\,$

O teorema estabelece que existe um único ponto fixo $x^*\in\mathbb{X}\,$, ou seja:

$f(x^*)=x^*\,$

Demonstração da unicidade

Sejam $x\,$ e $y\,$ pontos fixos de $f\,$, então:

$d(x,y)=d\left(f(x),f(y)\right) \leq \beta d(x,y)$,

o que implica $d(x,y)=0\,$, ou seja, $x=y\,$.

Demonstração da existência

Escolha um ponto qualquer $x_0\in\mathbb{X}\,$ e construa a seqüência:

$x_{n+1}=f(x_n),\forall n\ge 1$

Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:

$d(x_{n+k},x_n) \leq \sum_{j=1}^{k-1}d\left(x_{n+j},x_{n+j-1}\right)$

Agora usando a definição de contração temos:

$d(x_{n+j},x_{n+j-1}) \leq \beta^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)$

De forma que:

$d(x_{n+k},x_n) \leq \sum_{j=1}^{k-1}\beta^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right) \leq d(x_1,x_0) \beta^{n}\sum_{j=1}^{\infty}\beta^{j-1}$

$d(x_{n+k},x_n) \leq d(x_1,x_0)\frac{\beta^{n}}{1-\beta}\to 0, n\to \infty$

Assim a $x_n\,$ é uma sucessão de Cauchy e converge para algum ponto $x^*\in\mathbb{X}\,$

Devemos mostrar que $x^*\,$ é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:

$x_{n+1}=f(x_n)\,$

Passando ao limite, usando a continuidade de $f$ (o que segue da própria definição de contração), temos:

$x^*=f(x^*)\,$

E o resultado segue.

Ver também

• Espaço métrico completo