Teorema do ponto fixo de Brouwer

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Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema do ponto fixo de Brouwer é um resultado sobre a existência de pontos fixos. Recebe o nome do matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

O teorema de Brouwer é muito útil para compreensão da topologia dos espaços euclidianos. É também o ponto de partida para a demonstração de outros teoremas do o teorema do ponto fixo de Schauder e o teorema do ponto fixo de Schaefer.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja D\, a bola unitária fechada em \mathbb{R}^n\, e f:D\to D\, uma função contínua. Então existe um ponto fixo x\in D\,, ou seja:

f(x)=x\,

Observações[editar | editar código-fonte]

Caso trivial em uma dimensão[editar | editar código-fonte]

Seja f:[-1,1]\to[-1,1]\, contínua, então a função g:=f(x)-x\, também é contínua. Ainda:

g(-1) = f(-1) +1 \geq -1 +1 \geq 0\,
g(+1) = f(+1) -1 \leq +1 -1 \leq 0\,

Portanto existe pelo menos um ponto x\in[-1,1]\, tal que g(x)=0\, pelo teorema do valor intermediário. O que implica f(x)-x=0\, e o resultado segue.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Dugundji, James. Topology. 1aedição. Boston: Allyn and Bacon, 1965
  • Evans, C. Lawrence. Partial Differential Equations. 3aedição. Providence, RI: AMS, 2002