Teorema do ponto fixo de Brouwer

Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema do ponto fixo de Brouwer é um resultado sobre a existência de pontos fixos. Recebe o nome do matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

O teorema de Brouwer é muito útil para compreensão da topologia dos espaços euclidianos. É também o ponto de partida para a demonstração de outros teoremas do o teorema do ponto fixo de Schauder e o teorema do ponto fixo de Schaefer.

Enunciado

Seja $D\,$ a bola unitária fechada em $\mathbb{R}^n\,$ e $f:D\to D\,$ uma função contínua. Então existe um ponto fixo $x\in D\,$, ou seja:

$f(x)=x\,$

Observações

• O conjunto $D\,$ pode ser substituído por qualquer outro conjunto fechado, limitado e convexo.
• Não se faz nenhuma exigência quanto ao fato de $f\,$ ser injetiva ou sobrejetiva.
• Este é um teorema de existência pura, ao contrário do teorema do ponto fixo de Banach que possui uma prova construtiva.

Caso trivial em uma dimensão

Seja $f:[-1,1]\to[-1,1]\,$ contínua, então a função $g:=f(x)-x\,$ também é contínua. Ainda:

$g(-1) = f(-1) +1 \geq -1 +1 \geq 0\,$

$g(+1) = f(+1) -1 \leq +1 -1 \leq 0\,$

Portanto existe pelo menos um ponto $x\in[-1,1]\,$ tal que $g(x)=0\,$ pelo teorema do valor intermediário. O que implica $f(x)-x=0\,$ e o resultado segue.

Referências

• Dugundji, James. Topology. 1^aedição. Boston: Allyn and Bacon, 1965
• Evans, C. Lawrence. Partial Differential Equations. 3^aedição. Providence, RI: AMS, 2002