Identidades logarítmicas

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Em matemática, existem diversas identidades logarítmicas.

Identidades algébricas ou leis[editar | editar código-fonte]

Usando operações simples[editar | editar código-fonte]

Logaritmos podem ser usados para realizar-se cálculos mais facilmente. Por exemplo, dois números podem ser multiplicados apenas usando-se uma tábua de logaritmos e adição.

 \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, porque  b^c \cdot b^d = b^{c + d} \!\,
 \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) porque  b^{c-d} = \tfrac{b^c}{b^d}
 \log_b(x^d) = d \log_b(x) \!\, porque  (b^c)^d = b^{cd} \!\,
 \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} porque  \sqrt[y]{x} = x^{1/y}
 x^{\log_b(y)} = y^{\log_b(x)} \!\, porque  x^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) \log_b(y)} = b^{\log_b(y) \log_b(x)} = y^{\log_b(x)} \!\,
 c\log_b(x)+d\log_b(y) = \log_b(x^c y^d) \!\, porque  \log_b(x^c y^d) = \log_b(x^c) + \log_b(y^d) \!\,

Onde b, x, e y são números reais positivos e b \ne 1. Tanto c quanto d são números reais.

Identidades triviais[editar | editar código-fonte]

 \log_b(1) = 0 \!\, porque  b^0 = 1\!\,
 \log_b(b) = 1 \!\, porque  b^1 = b\!\,

Note-se que  \log_b(0) \!\, é indefinido porque não existe qualquer número  x \!\, tal que  b^x = 0 \!\, . De fato, existe uma assímptota vertical no gráfico de  \log_b(x) \!\, quando x=0.

Cancelando exponenciais[editar | editar código-fonte]

Logaritmos e exponenciais (antilogaritmos) com a mesma base cancelam-se um ao outro. Isto é verdadeiro porque logaritmos e exponenciais são operações inversas (assim como multiplicação e divisão).

 b^{\log_b(x)} = x porque  \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,
 \log_b(b^x) = x \!\, porque  \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,

Mudança de base[editar | editar código-fonte]

\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}

Esta identidade é necessária para obter-se logaritmos em calculadoras. . Por exemplo, a maioria das calculadoras tem teclas para ln e para log10, mas não para log2. Para encontrar-se log2(3), deve-se calcular log10(3) / log10(2) (ou ln(3)/ln(2), os quais resultam o mesmo resultado).

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Considerando-se y=\log_a b.
Então a^y=b.
Tomando-se \log_c em ambos os lados: \log_c a^y=\log_c b
Simplificando e resolvendo para y:  y\log_c a=\log_c b
y=\frac{\log_c b}{\log_c a}
Dado que y=\log_a b, então \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

Esta fórmula tem algumas consequências:

 \log_a b = \frac {1} {\log_b a}
 \log_{a^n} b =  {{\log_a b} \over n}
 a^{\log_b c} = c^{\log_b a}
- \log_a b = \log_a \left({1 \over b}\right) = \log_{1 \over a} b


 \log_{a_1}b_1 \,\cdots\, \log_{a_n}b_n
= \log_{a_{\pi(1)}}b_1\, \cdots\, \log_{a_{\pi(n)}}b_n, \,

onde \scriptstyle\pi\, é qualquer permutação dos subscritos 1, …, n. Por exemplo

 \log_a w\cdot \log_b x\cdot \log_c y\cdot \log_d z 
= \log_d w\cdot \log_a x\cdot \log_b y\cdot \log_c z. \,

Soma/subtração[editar | editar código-fonte]

A seguinte regra de soma/subtração é especialmente útil em teoria da probabilidade quando se trata de uma soma de log-probabilidades:

\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b (1+b^{\log_b c - \log_b a})
\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b (1-b^{\log_b c - \log_b a})

a qual resulta nos casos especiais:

\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b (1+\frac{c}{a})
\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b (1-\frac{c}{a})

Note-se que na prática a e c tem que ser ligados no lado direito das equações se c>a. Observe-se também que a identidade de subtração não está definida se a=c uma vez que o logaritmo de zero não é definido.

Mais genericamente:

\log _{b}\sum\limits_{i=0}^{N}{a_{i}}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left( 1+\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{a_{i}}{a_{0}}} \right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left( 1+\sum\limits_{i=1}^{N}{b^{\left( \log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0} \right)}} \right)

onde a_{0},\cdots ,a_{N}>0.

Identidades do cálculo[editar | editar código-fonte]

Limites[editar | editar código-fonte]

\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{se } a > 1
\lim_{x \to 0^+} \log_a x =  \infty \quad \mbox{se } a < 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =   \infty \quad \mbox{se } a > 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =  -\infty \quad \mbox{se } a < 1
\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0
\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0

O último limite é muitas vezes resumido como "logaritmos crescem mais lentamente do que qualquer potência ou raiz de x".

Derivadas de funções logarítmicas[editar | editar código-fonte]

{d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {1 \over x \ln e},\qquad x > 0
{d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b},\qquad b > 0, b \ne 1

Definição integral[editar | editar código-fonte]

\ln x = \int_1^x \frac {1}{t} dt

Integrais de funções logarítmicas[editar | editar código-fonte]

\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C

Para lembrar integrais mais altas, é conveniente definir:

x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)
x^{\left [ 0 \right ]} = \log x
x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x
x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2
x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3

Então,

\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}
\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C

Aproximando grandes números[editar | editar código-fonte]

As identidades de logaritmos pode ser usadas para aproximar grandes números. Note-se que logb(a) + logb(c) = logb(a*c), onde a, b, e c são constantes arbitrárias. Supondo-se que quer se aproximat o 44° primo de Mersenne, 232.582.657 - 1. Para obter-se o logaritmo de base 10, nós devemos miultiplicar 32.582.657 por log10(2), tomando 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543. Podemos então tomar 109.808.357 * 100,09543 ≈ 1,25 * 109.808.357.

Similarmente, fatoriais podem ser aproximados por somar-se os logaritmos dos termos.

Identidades logarítmicas complexas[editar | editar código-fonte]

O logaritmo complexo é o análogo em números complexos da função logaritmo. Nenhuma função no plano complexo pode satisfazer as regras normais para logaritmos. Entretanto uma função multivalorada pode ser definida a qual satisfaça a maioria das identidades. É comum considerar-se esta como uma função definida em um superfície de Riemann. A única versão valorada chamada valor principal do logaritmo pode ser definida a qual é descontínua no eixo x negativo e é igual a versão de vários valores em um único ramo de corte

Definições[editar | editar código-fonte]

A convenção usada aqui será que a primeira letra em maiúscula é usada para o valor principal das funções e a versão minúscula refere-se à função de valor multivalorada. A única versão valorada de definições e identidades é sempre dada primeiro, seguida por uma seção separada para as várias versões valoradas.

ln(r) é o padrão logaritmo natural do número real r.
Log(z) é o valor principal da função logaritmo complexo e tem parte imaginária no intervalo (-π, π].
Arg(z) é o valor principal da função arg, seu valor é restrito a (-π, π]. Pode ser computado usando-se Arg(x+iy)= atan2(y, x).
\operatorname{Log}(z) = \ln(|z|) + i \operatorname{Arg}(z)
e^{\operatorname{Log}(z)} = z

A versão valorada múltipla de log(z) é um conjunto, mas é mais fácil escrevê-lo sem barras e usá-lo em fórmulas seguindo regras óbvias.

log(z) é o conjunto dos números complexos v os quais satisfazem ev = z
arg(z) é o conjunto dos valores possíveis da função arg aplicada a z.

Quando k é qualquer inteiro:

\operatorname{Log}(z) = \ln(|z|) + i \operatorname{Arg}(z)
\log(z) = \operatorname{Log}(z) + 2 \pi i k
\ e^{\log(z)} = z

Constantes[editar | editar código-fonte]

Principais formas de valoração:

\operatorname{Log}(1) = 0
\operatorname{Log}(e) = 1

Formas de valoração múltipla, para qualquer k inteiro:

\log(1) = 0 + 2 \pi i k
\log(e) = 1 + 2 \pi i k

Soma[editar | editar código-fonte]

Principais formas de valoração:

\operatorname{Log}(z_1) + \operatorname{Log}(z_2) = \operatorname{Log}(z_1 z_2) \pmod {2 \pi i}
\operatorname{Log}(z_1) - \operatorname{Log}(z_2) = \operatorname{Log}(z_1 / z_2) \pmod {2 \pi i}

Formas de valoração múltipla:

\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)
\log(z_1) - \log(z_2) = \log(z_1 / z_2)

Potências[editar | editar código-fonte]

Um potência complexa de um número complexo pode ter muitos valores possíveis.

Principais formas de valoração:

{z_1}^{z_2} = e^{z_2 \operatorname{Log}(z_1)}
\operatorname{Log}{\left({z_1}^{z_2}\right)} = z_2 \operatorname{Log}(z_1) \pmod {2 \pi i}

Formas de valoração múltipla:

{z_1}^{z_2} = e^{z_2 \log(z_1)}

Onde k1, k2 são quaisquer inteiros:

\log{\left({z_1}^{z_2}\right)} = z_2 \log(z_1) + 2 \pi i k_2
\log{\left({z_1}^{z_2}\right)} = z_2 \operatorname{Log}(z_1) + z_2 2 \pi i k_1 + 2 \pi i k_2