Função periódica

O seno e o cosseno são funções periódicas.

Em matemática, uma função diz-se periódica se esta repete ao longo da variável independente com um determinado período constante. Exemplos de funções periódicas bem conhecidas são as funções trigonométricas seno, co-seno, secante e co-secante que possuem período igual a 2π, e tangente e co-tangente, com período igual a π.

Definição de função real periódica

Um função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que $f(x+T)=f(x)$ para todo x real.

Observe que se uma função tem período T então $f(x +nT) = f(x)$ para todo n inteiro, ou seja, é também periódica de período nT.

A função constante $f(x)=c$ é T-periódica para qualquer T .

O conjunto dos períodos de uma função $f(x)$, $\mathbb{T}:=\{T\in\mathbb{R}:\forall x\in\mathbb{R}, f(x+T)=f(x)\}$, pode ser vazio, discreto ou denso em $\mathbb{R}$. Se esse conjunto for vazio, a função é aperiódica, se for discreto então pode ser escrito na forma $\{nT_{f}, n\in\mathbb{Z}\}$ onde $T_f$ é um real positivo, chamado de período fundamental.

Um exemplo de função periódica não constante com períodos densos em $\mathbb{R}$ é a função indicadora de $\mathbb{Q}\,$ em $\mathbb{R}\,$, definida como:

• $\Chi_{\mathbb{Q}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, &x\in\mathbb{Q}\\0,&c.c.\end{array}\right.$

Propriedades de funções reais periódicas

O conjunto das funções periódicas de um certo período $T$ formam uma álgebra, ou seja, se $f(x)$ e $g(x)$ são T-periódicas, então:

I) $\displaystyle f(x) + g(x)$ é T-periódica

II) $\displaystyle \alpha f(x)$ é T-periódica para todo $\alpha$ real

III) $\displaystyle f(x) * g(x)$ é T-periódica

possui ainda a propriedade de ser fechado em relação à translação:

Iv) $\displaystyle f(x+h)$ é T-periódica

O mesmo pode não acontecer quando não tentamos realizar as mesmas operações com função periódicas de períodos diferentes. Exemplo:

$\displaystyle \sin(x)$ e $\displaystyle \sin(\pi x)$ são periódicas com período $\displaystyle 2\pi$ e $\displaystyle 2$, respectivamente. No entanto $\displaystyle \sin(x)+\sin(\pi x)$ é aperiódica.

Se uma função $f(x)$ é T-periódica e integrável, podemos definir sua média como:

$\mu=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)dx$

Para toda função real periódica com período fundamental $\displaystyle T_f>0$, definimos a sua freqüência $f$ e sua velocidade angular $\omega$ como:

• $f=\frac{1}{T}$ e
• $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$

Funções Complexas Duplamente Periódicas

Em análise complexa, existem funções meromorfas que são duplamente periódicas, ou seja:

$f(x + T_1) = f(x + T_2) = f(x) \mbox{ sendo } T_1 \mbox{ e } T_2\,$ números complexos cuja razão não é um número real.

As funções elípticas são exemplos de funções duplamente periódicas.

funções inteiras não constantes, no entanto, não podem ser duplo periódicas com períodos $T_1$ e $T_2$ linermente independentes nos reais. Pois tais funções seriam inevitavelmentes limitadas.