Função periódica

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O seno e o cosseno são funções periódicas.

Em matemática, uma função diz-se periódica se esta repete ao longo da variável independente com um determinado período constante.[1] Exemplos de funções periódicas bem conhecidas são as funções trigonométricas seno, co-seno, secante e co-secante que possuem período igual a 2π, e tangente e co-tangente, com período igual a π.[1]

Definição de função real periódica[editar | editar código-fonte]

Um função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é dita periódica de período T (ou apenas T-periódica) se existe um número real T tal que f(x+T)=f(x) para todo x real.[1]

Observe que se uma função tem período T então f(x +nT) = f(x) para todo n inteiro, ou seja, é também periódica de período nT.

A função constante f(x)=c é T-periódica para qualquer T>0 .

O conjunto dos períodos de uma função f(x), \mathbb{T}:=\{T\in\mathbb{R}:\forall x\in\mathbb{R}, f(x+T)=f(x)\}, pode ser vazio, discreto ou denso em \mathbb{R}. Se esse conjunto for vazio, a função é aperiódica, se for discreto então pode ser escrito na forma \{nT_{f}, n\in\mathbb{Z}\} onde T_f é um real positivo, chamado de período fundamental.

Um exemplo de função periódica não constante com períodos densos em \mathbb{R} é a função indicadora de \mathbb{Q} em \mathbb{R}, definida como:

  • \Chi_{\mathbb{Q}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, &x\in\mathbb{Q}\\0,&c.c.\end{array}\right.

Propriedades de funções reais periódicas[editar | editar código-fonte]

O conjunto das funções periódicas de um certo período T formam uma álgebra, ou seja, se f(x) e g(x) são T-periódicas, então:

I) \displaystyle f(x) + g(x) é T-periódica
II) \displaystyle \alpha f(x) é T-periódica para todo \alpha real
III) \displaystyle f(x) * g(x) é T-periódica

possui ainda a propriedade de ser fechado em relação à translação:

Iv) \displaystyle f(x+h) é T-periódica

O mesmo pode não acontecer quando não tentamos realizar as mesmas operações com função periódicas de períodos diferentes. Exemplo:

\displaystyle \sin(x) e \displaystyle \sin(\pi x) são periódicas com período \displaystyle 2\pi e \displaystyle 2, respectivamente. No entanto \displaystyle \sin(x)+\sin(\pi x) é aperiódica.

Se uma função f(x) é T-periódica e integrável, podemos definir sua média como:

\mu=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)dx

Para toda função real periódica com período fundamental \displaystyle T_f>0, definimos a sua freqüência f e sua velocidade angular \omega como:

  • f=\frac{1}{T} e
  • \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f

Funções Complexas Duplamente Periódicas[editar | editar código-fonte]

Em análise complexa, existem funções meromorfas que são duplamente periódicas, ou seja:

f(x + T_1) = f(x + T_2) = f(x) \mbox{ sendo } T_1 \mbox{ e } T_2 números complexos cuja razão não é um número real.

As funções elípticas são exemplos de funções duplamente periódicas.

funções inteiras não constantes, no entanto, não podem ser duplo periódicas com períodos T_1 e T_2 linermente independentes nos reais. Pois tais funções seriam inevitavelmentes limitadas.

Referências

  1. a b c Gabriel Alessandro de Oliveira. Funções periódicas (em português). R7. Brasil Escola. Página visitada em 28 de abril de 2013.
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