Norma matricial

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Em matemática, uma norma matricial é uma norma definida para matrizes.

Definição de norma[editar | editar código-fonte]

Seja M^{n\times m}\, o espaço vetorial das matrizes n\times m\, reais ou complexas. Uma norma \|.\|\, é uma função que associa a cada matriz um número real não negativo e satisfaz as propriedades

[1]
  1. \|A\|=0 \Leftrightarrow A=0\,
  2. \|\lambda A\|=|\lambda|\|A\|\,
  3. \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|\,

Norma operacional euclidiana[editar | editar código-fonte]

Quando uma matriz A\in M^{n\times m}\, é vista como um operador entre os espaços euclidianos \mathbb{R}^n\, e \mathbb{R}^m\,, a norma natural é dada pela norma operacional:

\|A\|=\sup_{x\in\mathbb{R}^n,x\neq 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}

A definição é análoga para o caso complexo.

Esta norma tem seguintes propriedades adicionais:

Norma infinito ou norma do máximo[editar | editar código-fonte]

Seja A = \left[ a_{ij} \right]_{r \times s}\, uma matriz  r \times s. A norma infinito ou norma do máximo da matriz A\,, denotada por \| A \|_{\infty} \,, é o número não negativo

\|A\|_{\infty} =  \max_{1 \le i \|e r} \sum_{j=1}^s |a_{ij}|\,

(a maior soma absoluta das linhas)[2]

Norma 1[editar | editar código-fonte]

Seja A = \left[ a_{ij} \right]_{r \times s}\, uma matriz  r \times s. A norma 1 da matriz A\,, denotada por \| A \|_1 \,, é o número não negativo

\|A\|_1 =  \max_{1 \le j \le s} \sum_{i=1}^r |a_{ij}|\,

A norma da matriz A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}\,, por exemplo, é \| A \|_1 = max \left\{ |1| + |2|, |3| + |-1| \right\} = max \left\{3, 4\right\} = 4\,[3]

Normas baseadas nas entradas[editar | editar código-fonte]

Estas normas vetoriais tratam uma matriz  m \times n como um vetor de tamanho  m n e utilizam uma das normas vetoriais usuais.

Por exemplo, usando-se a p-norma para vetores, temos:

\Vert A \Vert_{p} = \left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p \right)^{1/p}. \,

Esta é uma norma diferente das demais normas de matrizes, porém a notação é a mesma.

O caso especial p = 2 é a norma de Frobenius, e p = ∞ dá a nórma do máximo.

A norma de Frobenius é sub-multiplicativa e é muito útil em álgebra linear numérica. Esta norma costuma ser mais simples de calcular que as demais normas.

Norma Induzida[editar | editar código-fonte]

Se a norma vetorial de R^n é dada, então se define a correspondente norma matricial induzida como os seguintes máximos:

 \begin{align}
\|A\| &= \max\{\|Ax\| : x\in R^n \mbox{ with }\|x\|= 1\} \\
&= \max\left\{\frac{\|Ax\|}{\|x\|} : x\in R^n \mbox{ with }x\ne 0\right\}.
\end{align}

A norma do operador correspondente à p-norma vetorial é:

 \left \| A \right \| _p = \max \limits _{x \ne 0} \frac{\left \| A x\right \| _p}{\left \| x\right \| _p}.

No caso de p=1 e p=\infty, as normas podem ser calculado como:

 \left \| A \right \| _1 = \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} |, que é simplesmente a máximo soma das coluna em absoluto.
 \left \| A \right \| _\infty = \max \limits _{1 \leq i \leq m} \sum _{j=1} ^n | a_{ij} |, que é simplesmente a máxima soma das linhas em absoluto da matriz.
Demonstração para o caso p=1

Por um lado, considere

 \frac{\left \| A x\right \|}{\left \| x\right \|} = \frac{ \sum _{j=1} ^n | \sum _{i=1} ^n  a_{ij} x_j|}{  \sum _{i=1} ^n |  x_j  |} \leq \frac{ \sum _{j=1} ^n \sum _{i=1} ^n | a_{ij} | | x_j|}{  \sum _{i=1} ^n |  x_j  |} \leq   \frac{ \sum _{j=1} ^n \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} | | x_j|}{    \sum _{i=1} ^n |  x_j  |}=\max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} | .

Por outro lado, seja o vetor x, com zero em todas as entradas exceto para a j-ésima entrada onde  \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} | ocorre. Tem-se

| A x |= \sum _{i=1} ^n {| a_{ij} x_j|}= \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} |    .

Assim, pelo definição da norma e pelo Teorema do confronto, temos

 \left \| A \right \| _1 = \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^n | a_{ij} |. Cqd

Equivalência entre as normas[editar | editar código-fonte]

Dado que as matrizes formam um espaço de dimensão finita real ou complexo, todas as normas são equivalentes. Ou seja se \|.\|_1\, e \|.\|_2\, são normas em M^{n\times m}\, então existem constantes C_1\, e C_2\, tais que:

C_1\|A\|_1\leq \|A\|_2 \leq C_2\|A\|_1,~~\forall A\in M^{n\times m}\,

Referências

  1. Robert Plato. Concise numerical mathematics (em inglês). [S.l.]: American Mathemcatical Society. ISBN 0-8218-2953-X
  2. pág.22
  3. pag.22