Convergência uniforme

Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

Definição

Como comparação, uma sequência de funções $f_n(x): S \rightarrow \R\,$ converge pontualmente para uma função $f: S \rightarrow \R\,$ se, e somente se:

$\forall \epsilon > 0 \ \forall x \in S \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n > N \ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon\,$

A sequência converge uniformemente quando:

$\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall x \in S \ \forall n > N \ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon\,$

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada $\epsilon\,$ e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada $\epsilon\,$ um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convegência na norma do supremo.

Convergência uniforme e integrais

Seja $f_n(x)\,$ funções integráveis convergindo uniformemente para $f(x)\,$, então $f\,$ é integrável e:

$\int_{a}^{b}f_n(x)dx \to \int_{a}^bf(x)dx\,$

este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

Continuidade e diferenciabilidade

• A convergência uniforme preserva continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.

• Observe no entanto que a diferenciabilidade não é preservada, podendo uma seqüência de funções deriváveis convergir uniformemente para uma função contínua que não é diferenciável em nenhum ponto. Um exemplo desta patologia (matemática) é a construção da função de Weierstrass. De fato, qualquer função contínua pode ser aproximada uniformemente por funções suaves, veja teorema de Stone-Weierstrass.

• Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:

$f_n(x)=\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}\,$

cujas derivadas são:

$f_n'(x)=\sqrt{n}\cos nx\,$

Que $f_n(x)\,$ converge uniformemente para zero é fácil ver pois $|f_n(x)|<\frac{1}{\sqrt{n}}\,$. Podemos provar que não existe um $x\,$ tal que $f_n'(x)\,$ é limitado. Para tal, suponha que exista tal $x\,$, como $\sqrt{n}\to\infty\,$, $\cos(nx)\to 0\,$ e portanto existe um $N>0\,$ com a propriedade:

$n>N\Longleftarrow |\cos(nx)|<\frac{1}{2}\,$, mas então:

$|\cos(2nx)|=|2cos^2nx-1|=1-2cos^2nx>\frac{1}{2}\,$, o que contradiz a convergência.

• Pode acontecer de $f_n(x)\,$ convergir uniformemente e $f_n'(x)\,$ pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:

$f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}, x\in[-1,+1]$

Como $|f_n(x)|\leq \frac{1}{2n}\,$, $f_n\,$ convege uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

$\lim_{n\to\infty}f_n'(x) = \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2x^2}{\left(1+n^2x^2\right)^2}=\left\{ \begin{array}{lr} 1, ~~x=0\\ 0,~~x\neq 0 \end{array} \right.\,$

• Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Ver também

• Convergência pontual
• Norma do supremo
• Espaço de Hölder