Convergência uniforme

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Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

Definição[editar | editar código-fonte]

Como comparação, uma sequência de funções f_n(x): S \rightarrow \R\, converge pontualmente para uma função f: S \rightarrow \R\, se, e somente se:

\forall \epsilon > 0 \ \forall x \in S \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n > N \ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon\,

A sequência converge uniformemente quando:

\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \  \forall x \in S \ \forall n > N \ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon\,

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada \epsilon\, e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada \epsilon\, um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convegência na norma do supremo.

Convergência uniforme e integrais[editar | editar código-fonte]

Seja f_n(x)\, funções integráveis convergindo uniformemente para f(x)\,, então f\, é integrável e:

\int_{a}^{b}f_n(x)dx \to \int_{a}^bf(x)dx\,

este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

Continuidade e diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

  • A convergência uniforme preserva continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.
  • Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:
f_n(x)=\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}\,

cujas derivadas são:

f_n'(x)=\sqrt{n}\cos nx\,

Que f_n(x)\, converge uniformemente para zero é fácil ver pois |f_n(x)|<\frac{1}{\sqrt{n}}\,. Podemos provar que não existe um x\, tal que f_n'(x)\, é limitado. Para tal, suponha que exista tal x\,, como \sqrt{n}\to\infty\,, \cos(nx)\to 0\, e portanto existe um N>0\, com a propriedade:

n>N\Longleftarrow |\cos(nx)|<\frac{1}{2}\,, mas então:
|\cos(2nx)|=|2cos^2nx-1|=1-2cos^2nx>\frac{1}{2}\,, o que contradiz a convergência.
  • Pode acontecer de f_n(x)\, convergir uniformemente e f_n'(x)\, pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:
f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}, x\in[-1,+1]

Como |f_n(x)|\leq \frac{1}{2n}\,, f_n\, convege uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

\lim_{n\to\infty}f_n'(x) = \lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2x^2}{\left(1+n^2x^2\right)^2}=\left\{
\begin{array}{lr}
1, ~~x=0\\
0,~~x\neq 0
\end{array}
\right.\,
  • Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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