Monomorfismo (teoria das categorias)

Exemplo de um monomorfismo

Um monomorfismo (ou mono), no contexto de teoria das categorias, é uma generalização do conceito de função injetiva. Uma seta $h:a\rightarrow b$ numa categoria $C$ é um monomorfismo se e somente se $h\circ g=h\circ f$ implica $g=f$ sempre que $g,f:c\to a$ são setas e $c$ é objeto de $C$. Ou seja, uma seta é mono se ela pode ser cancelada à esquerda de uma composição.

A noção dual a monomorfismo é epimorfismo.

Exemplos

• Na categoria dos conjuntos, dos espaços topológicos (e funções contínuas), dos grupos (e homomorfismos de grupos), monomorfismos são exatamente os mapeamentos injetivos.
• Na categoria de grupos abelianos divisíveis (isto é, um grupo abeliano G satisfazendo G = n ⋅ G para cada n inteiro positivo), a projeção ℚ → ℚ/ℤ é um monomorfismo que não é injetivo.

Seção

Se g ∘ f = 1_c para algumas setas f : c → d e g : d → c, f é chamada inversa à direita ou seção e g é chamada inversa à esquerda ou retração. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.

Eis alguns exemplos:

• Na categoria dos conjuntos, se A ≠ ∅, uma função f : A → B é uma seção precisamente quando é injetiva.
• Na categoria dos módulos sobre um anel R, um homomorfismo φ : M → N é uma seção precisamente quando há sequência exata
  $$0\rightarrow M{\xrightarrow {\phi }}N{\xrightarrow {a\mapsto a+\operatorname {im} \phi }}\operatorname {conuc} \phi \rightarrow 0$$
  que cinde, isto é, quando há diagrama comutativo
  $${\begin{array}{c l c l c l c l c}0&\rightarrow &M&{\xrightarrow {\phi }}&N&\rightarrow &\operatorname {conuc} \phi &\rightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\rightarrow &M'_{1}&\rightarrow &M'_{1}\oplus M'_{2}&\rightarrow &M'_{2}&\rightarrow &0\end{array}}$$
  no qual a setas verticais são isomorfismos, e as duas setas na linha de baixo são definidas por a ↦ (a, 0) e (a, b) ↦ b. (O módulo N "cinde-se" em M e o conúcleo de φ.) Por isso, seções são também chamadas de monomorfismos que cindem.

Subobjetos

Ver artigo principal: Subobjeto

Dados monomorfismos $u:s\to a,\,v:t\to a$ de mesmo contradomínio, escreve-se $u\leq v$ quando $u=v\circ u'$ para alguma $u':s\to t$; escreve-se $u\equiv v$ quando $u\leq v$ e $v\leq u$. Então, $\equiv$ é relação de equivalência no conjunto dos monomorfismos de contradomínio $a$, e cada classe de equivalência associada é chamada um subobjeto de $a$.

Na categoria dos conjuntos e na dos grupos, por exemplo, subobojetos correspondem biunivocamente a subconjuntos e subgrupos, respectivamente.

Dada uma família $\{u_{i}:s_{i}\to a\}_{i\in I}$ de subobjetos de $a$ (aqui, usa-se a mesma notação para um subobjeto e um monomorfismo representante), o ínfimo de $A$ (se existe) é exatamente o produto fibrado (ou pullback) dos $\{u_{i}:s_{i}\to a\}_{i\in I}$.

Bibliografia

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.] 
• ASPERTI, Longo. Categories, Types, and Structures. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London.
• BARR, Michael; WELLS, Charles. Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• MAC LANE, Saunders. Categories for the Working Mathematician. 2 ed. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.
• ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7 

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo