Extensão de Kan

Na teoria das categorias, a extensão de Kan trata do problema de aproximar um functor por outro functor definido em outra categoria. O conceito recebe o nome de Daniel Kan, que começou a estudar casos particulares em 1958. Maiores aplicações da teoria de extensões de Kan surgiram na álgebra homológica, com o estudo de functores derivados.

Definição

Sejam functores F : C → E e K : C → D. Uma extensão de Kan esquerda de F ao longo de K é um functor Lan_K F : D → E junto a um isomorfismo

Nat(Lan_K F, S) ≅ Nat(F, S ∘ K)

natural em S : D → E. Noutras palavras, existe transformação natural η : F → Lan_K F ∘ K tal que, para qualquer functor S : D → E e qualquer transformação natural γ : F → S ∘ K, existe única transformação natural γ′ : Lan_K F → S tal que γ = γ′ K ∘ η.

Dualmente, uma extensão de Kan direita de F ao longo de K é um functor Ran_K F : D → E junto a um isomorfismo

Nat(S ∘ K, F) ≅ Nat(S, Ran_K F)

natural em S : D → E. Noutras palavras, existe transformação natural ε : Ran_K F ∘ K → F tal que, para qualquer functor S : D → E e qualquer transformação natural δ : S ∘ K → F, existe única transformação natural δ′ : S → Ran_K F tal que δ = ε ∘ δ′ K.

Se todos os functores F : C → E admitem extensão de Kan esquerda ao longo de K, o functor _ ∘ K : E^D → E^C admite adjunto esquerdo Lan_K. Dualmente, se todos os functores F : C → E admitem extensão de Kan direita ao longo de K, o functor _ ∘ K admite adjunto direito Ran_K.

Exemplos

• Considere C = E = (ℤ, ≤), D = E = (ℝ, ≤), F : ℤ → ℤ como a identidade e K : ℤ → ℝ como a inclusão. (Toda pré-ordem pode ser considerada como uma categoria.) Então, a extensão de Kan esquerda de F ao longo de K é a função teto e a extensão de Kan direita de F ao longo de K é a função piso. Com efeito, se n ∈ ℤ e x ∈ ℝ, vale ⌈x⌉ ≤ n sse x ≤ n, e n ≤ x sse n ≤ ⌊x⌋.
• Representações lineares de um grupo G são functores de B G (categoria de um objeto e morfismos correspondentes aos elementos de G) à categoria k-Vet dos espaços vetoriais sobre um corpo k. Toda representação linear de subgrupo H ⊆ G admite extensão de Kan esquerda (chamada representação induzida) e extensão de Kan direita (chamada representação coinduzida), ao longo da inclusão B H → B G.

Fórmula para extensões de Kan

Dados functores F : C → E e K : C → D, tem-se fórmula para a extensão de Kan esquerda (desde que o colimite abaixo exista):

$$\mathrm {Lan} _{K}(F)(d):=\mathrm {colim} (K\downarrow d\xrightarrow {P} C\xrightarrow {F} E)$$

onde K ↓ d denota uma categoria vírgula, e P : K ↓ d → C projeção na primeira componente.

Dualmente, tem-se fórmula para a extensão de Kan direita (desde que o limite abaixo exista):

$$\mathrm {Ran} _{K}(F)(d):=\mathrm {lim} (d\downarrow K\xrightarrow {Q} C\xrightarrow {F} E)$$

Alguns exemplos de aplicação da fórmula.

• Sejam C = (ℚ, ≤), D = E = (ℝ, ≤), F : ℚ → ℝ a função q ↦ 2^q, e K : ℚ → ℝ a inclusão. Então, as extensões de Kan esquerda e direita de F ao longo de K coincidem, porque, para cada d ∈ ℝ:

$${\begin{aligned}2^{d}&=\sup\{2^{q}\mid \mathbb {Q} \ni q\leq d\}\\&=\inf\{2^{q}\mid d\leq q\in \mathbb {Q} \}\end{aligned}}$$

• Dada categoria pequena C, a categoria Set^Cop é a "cocompletação livre" de C. Isto é, sendo y : C → Set^Cop a imersão de Yoneda, para cada categoria cocompleta E, para cada functor A : C → E, existe functor L : Set^Cop → E preservando colimites tal que L ∘ y = A, dado pela fórmula:
  $$L(F)=\mathrm {colim} \left(\int {F}\to C\xrightarrow {A} E\right)$$
  onde ∫ F denota a categoria de elementos de F : C^op → Set.

Extensão de Kan pontual

Sejam functores F : C → E e K : C → D. Um functor L : E → E′ é dito preservar uma extensão de Kan esquerda (Lan_K F, η) quando (L ∘ Lan_K F, L η) é uma extensão de Kan esquerda de L ∘ F ao longo de K. Adjuntos esquerdos preservam todas as extensões de Kan esquerdas. Similarmente, adjuntos direitos preservam todas as extensões de Kan direitas.

Uma extensão de Kan direita (Ran_K F, ε) é dita ser pontual quando é preservada pelo functor representável hom(e, _) para cada e ∈ E. Já uma extensão de Kan esquerda (Lan_K F, η) é dita ser pontual quando ((Lan_K F)^op, η^op) é extensão de Kan direita pontual (do functor F^op : C^op → E^op ao longo do functor K^op : C^op → D^op).

Uma extensão de Kan direita é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de limite da seção #Fórmula para extensões de Kan acima. Dualmente, uma extensão de Kan esquerda é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de colimite acima.

Aplicações

A seguir, algumas situações nas quais extensões de Kan são usadas.

• Determinação de functores derivados em categorias homotópicas (que incluem os functores Ext e Tor).
• Identificação de functores (co)densos (a grosso modo, quando objetos são (co)limites de objetos de uma subcategoria dada).
• Estudo de mônades de codensidade, que generalizam mônades induzidas por adjunções.

Bibliografia

• Riehl, Emily (2016), Category Theory in Context 
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, ISBN 0-387-98403-8, Graduate Texts in Mathematics 2 ed. , Springer