Isomorfismo (teoria das categorias)

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Um isomorfismo (ou iso), no contexto de teoria das categorias, é uma seta que possui uma propriedade distintiva.

Seja uma categoria C e objetos a e b desta categoria. Uma seta h:a\rightarrow b é isomorfismo se e somente se existe g:b\rightarrow a tal que g\circ h=id_a e h\circ g=id_b.

Toda seta iso é mono e epi, embora o contrário não seja necessariamente verdade. Por exemplo, na categoria formada por dois objetos a e b, os morfismos identidade, e um único morfismo f:a\rightarrow b, f é um monomorfismo e um epimorfismo, porém não é um isomorfismo.

Em conjuntos podemos pensar uma seta iso como sendo uma função bijetora.

Igualdade e isomorfismo[editar | editar código-fonte]

Isomorfismo é uma das noções mais importantes em uma categoria. Por isso, é comum encontrar em várias demonstrações e construções as expressões único, a menos de isomorfismo e único, a menos de único isomorfismo.

O que estas expressões querem dizer é que determinado objeto pode existir como várias versões, mas todas estas versões são isomórficas. Na noção mais forte, este isomorfismo entre dois objetos também é único.

Para efeitos práticos, o isomorfismo faz com que objetos isomórficos comportem-se da mesma forma. Tudo que pode ser feito com um deles pode ser feito com o outro - basta compor setas com o isomorfismo entre estes objetos.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Na teoria dos corpos, o fecho algébrico existe é único a menos de isomorfismo. Por exemplo, o corpo \mathbb{R}\, pode ter como fecho algébrico um determinado conjunto de matrizes 2x2 ou um conjunto de pares ordenados (a,b) no qual é definida uma operação de produto, mas estas duas representações de \mathbb{C}\, são isomórficas. O isomorfismo, porém, não é único.
  • Na construção de um corpo ordenado arquimediano completo, pode-se usar os cortes de Dedekind ou classes de equivalência de sequências de Cauchy. Estas duas representações de \mathbb{R}\, na categoria dos corpos são isomórficas, e o isomorfismo é único - diz-se portanto que o corpo ordenado arquimediano completo nesta categoria é único a menos de um único isomorfismo.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • ASPERTI, Longo. Categories, Types, and Structures. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London.
  • BARR, Michael; WELLS, Charles. Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
  • MAC LANE, Saunders. Categories for the Working Mathematician. 2 ed. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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