Cortes de Dedekind

Cortes de Dedekind

Em matemática, cortes de Dedekind, nome em homenagem a Richard Dedekind, são subconjutos especiais do corpo ordenado $\mathbb{Q}$, os números racionais, que são usados para construir um corpo ordenado completo arquimediano.

Um subconjunto $A\subset\mathbb{Q}$ é um corte se satisfaz às seguintes propriedades:

1. $\emptyset\not=A\not=\mathbb{Q}$;
2. Se $p \in A$ e $q \in \mathbb{Q}$ é tal que $q < p$, então temos que $q \in A$;
3. Se $p \in A$, então $\exists q \in A$, com $p < q$.

Intuitivamente um corte é uma semi-reta racional que não tem maior elemento.

Exemplos de cortes

• O conjunto dos números racionais menores que 2;
• O conjunto dos números racionais cujos quadrados são menores que dois, unidos com todos os números racionais negativos, ou seja, $A = \{q \in \mathbb{Q} | q^2 < 2 \} \cup \{q \in \mathbb{Q} | q \leq 0 \}$.

Definição das Operações

Considerando D o conjunto de todos os cortes, podemos definir uma ordem, uma soma e uma multiplicação de elementos de D, de forma com que D seja um corpo ordenado com a propriedade arquimediana, e finalmente, D, definido dessa forma satisfaz o Postulado de Dedekind, ou seja, D é um corpo completo.

Soma

Queremos definir a função soma $+:DxD \rightarrow D$, que leva um par (A,B) em um elemento A+B de D. Definimos $A+B := \{x+y \in \mathbb{Q} | x \in A \land y \in B\}$. Pode-se provar que o conjunto A+B assim definido é um corte e que a função soma tem as propriedades associativa, comutativa, tem elemento nêutro e que todos os cortes tem um oposto aditivo. Desta forma (D, +) é um grupo abeliano.

Ver também

• Corpo (matemática)
• Teoria dos corpos
• Corpo ordenado
• Número irracional