Cortes de Dedekind

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Cortes de Dedekind[editar | editar código-fonte]

Em matemática, cortes de Dedekind, nome em homenagem a Richard Dedekind, são subconjutos especiais do corpo ordenado \mathbb{Q}, os números racionais, que são usados para construir um corpo ordenado completo arquimediano.

Um subconjunto A\subset\mathbb{Q} é um corte se satisfaz às seguintes propriedades:

  1. \emptyset\not=A\not=\mathbb{Q};
  2. Se p \in A e q \in \mathbb{Q} é tal que q < p, então temos que q \in A;
  3. Se p \in A, então \exists q \in A, com p < q.

Intuitivamente um corte é uma semi-reta racional que não tem maior elemento.

Exemplos de cortes[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto dos números racionais menores que 2;
  • O conjunto dos números racionais cujos quadrados são menores que dois, unidos com todos os números racionais negativos, ou seja, A = \{q \in \mathbb{Q} | q^2 < 2 \} \cup \{q \in \mathbb{Q} | q \leq 0 \}.

Definição das Operações[editar | editar código-fonte]

Considerando D o conjunto de todos os cortes, podemos definir uma ordem, uma soma e uma multiplicação de elementos de D, de forma com que D seja um corpo ordenado com a propriedade arquimediana, e finalmente, D, definido dessa forma satisfaz o Postulado de Dedekind, ou seja, D é um corpo completo.

Soma[editar | editar código-fonte]

Queremos definir a função soma +:DxD \rightarrow D, que leva um par (A,B) em um elemento A+B de D. Definimos A+B := \{x+y \in \mathbb{Q} | x \in A \land y \in B\}. Pode-se provar que o conjunto A+B assim definido é um corte e que a função soma tem as propriedades associativa, comutativa, tem elemento nêutro e que todos os cortes tem um oposto aditivo. Desta forma (D, +) é um grupo abeliano.

Ver também[editar | editar código-fonte]