Topologia produto

A topologia produto é a menor topologia em um produto de espaços topológicos que torna cada projeção canônica uma função contínua.

Deve-se notar que essa definição é boa porque, como na topologia discreta toda função é contínua, estamos definindo a topologia produto como a interseção de um número não-vazio de topologias, e a interseção de topologias é uma topologia.

Definição usando bases e sub-bases

Esta definição é equivalente à seguinte:

• A topologia produto é a topologia cuja base é formada pelas interseções finitas das imagens inversas, pelas projeções canônicas, dos abertos de cada espaço topológico que forma o produto.

Equivalentemente, seja $X = \Pi_{\lambda} X_{\lambda}\,$ o produto, e $\tau_{\lambda}\,$ a topologia de $X_{\lambda}\,$ para cada $\lambda\,$. Então a topologia produto tem como sub-base a coleção $\{ \pi_{\lambda}^{-1}(A), A \in \tau_{\lambda} \}\,$, em que $\pi_{\lambda}\,$ é a projeção canônica.

Deve-se notar que, contrariamente à nossa intuição, se dois pontos x e y pertencem a um aberto na topologia produto, isso traz informação sobre uma quantidade finita das coordenadas de x e y. Se o produto é de um número infinito de espaços topológicos, não temos informações sobre a maioria das coordenadas destes pontos. Por isso, resultados que são intuitivamente extrapolados para produtos finitos não devem ser extrapolados para produtos infinitos.

Duas dimensões

Sejam X e Y espaços topológicos. Então a topologia produto de $X \times Y\,$ é aquela cuja base são os conjuntos $A \times B\,$, em que $A \subset X\,$ e $B \subset Y\,$ são abertos.

Exceto em casos triviais, nem todo aberto de $X \times Y\,$ é da forma $A \times B\,$.

Propriedades

Várias propriedades das topologias de X e Y são herdadas pelo produto:

• Se X e Y têm a topologia discreta, então $X \times Y\,$ também tem a topologia discreta.
• Se X e Y têm a topologia grosseira, então $X \times Y\,$ também tem a topologia grosseira.
• Se X e Y são Hausdorff, então $X \times Y\,$ também são Hausdorff.
• Se X e Y são compactos, então $X \times Y\,$ também é compacto.

Espaços de funções

Seja S um conjunto qualquer e X um espaço topológico. Então o conjunto das funções de domínio S e contra-domínio X pode ser identificado com o produto $X^S\,$. Neste caso, a topologia produto é também conhecida pelo nome topologia da convergência pontual, porque a convergência de uma seqüência de funções nesta topologia é equivalente à convergência pontual.