Grupo fundamental

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O grupo fundamental de um toro é gerado pelas duas curvas a e b.

O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja X\, um espaço topológico e x\in X um ponto. O grupo fundamental de X\, baseado em x\,, representado por \pi_1(X,x)\, é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em x\, onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se \gamma\, e \gamma'\, são lacetes centrados em x\,, e [ \,\, ]\, indica a classe de homotopia, então [\gamma][\gamma']=[\gamma*\gamma']\,.

Toda curva \gamma\, de x\, a y\, define um homomorfismo de grupos entre \pi_1(X,x)\, e \pi_1(X,y)\, por \gamma_*[\alpha]=[\gamma^{-1}*\alpha*\gamma],. Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando X\, é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja, \pi_1(X,x)\, é isomorfo a \pi_1(X,y)\,, para quaisquer x,y\in X.

Aplicações contínuas e homomorfismos[editar | editar código-fonte]

Se f:X\to Y\, é uma aplicação contínua tal que f(x)=y\,, então ela induz um homomorfismo f_*\, entre \pi_1(X,x)\, e \pi_1(Y,y)\, dado por f_*[\gamma]=[f\circ\gamma]\,. Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que f_*([\gamma]*[\gamma']=[f\circ\gamma]*[f\circ\gamma']\,.

Functorialidade[editar | editar código-fonte]

Seja Top_*\, a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas (X,x)\,, onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos f:(X,x)\to (Y,y)\, são aplicações contínuas f:X\to Y\, tal que f(x)=y\,. Então \pi_1\, pode ser visto como um functor entre Top_*\, e Grp\,. Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.


Referências

  • Munkres, James R.. In: James R.. Elements of Algebraic Topology. [S.l.]: Mir, 1997. 454 pp. ISBN 5855012034..
  • Hatcher, Allen. In: Allen. Algebraic Topology. [S.l.]: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0521795400..
  • Joseph J., Rotman. In: Rotman. An Introduction to Algebraic Topology. [S.l.]: Springer, 1988. ISBN 0387966781..


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