Operação justaposição

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Seja  (X, \tau) um espaço topológico,  \Omega(X, x_0, x_1) o conjunto de todos os caminhos contínuos de  x_{0} até x_{1}, \Omega(X, x_1, x_2) o conjunto de todos os caminhos contínuos de  x_{1} até x_{2} e \alpha: [0,1] \rightarrow X \,\, \in \Omega(X, x_0, x_1) e \beta: [0,1] \rightarrow X \,\, \in \Omega(X, x_1, x_2) dois caminhos em X.

A operação justaposição entre caminhos de um espaço topológico, denotada por \alpha * \beta, e definida por:

\Omega(X, x_{0}, x_{1}) \times \Omega(X, x_{1}, x_{2} ) \rightarrow  \Omega(X,x_{0},x_{2})

( \alpha,\beta) \mapsto \alpha * \beta

Onde \alpha * \beta denota o caminho justaposto:

\alpha * \beta = \begin{cases}
\alpha(2t), 0 \leq t \leq \dfrac{1}{2},\\
\beta(2t-1), \dfrac{1}{2} \leq t < 1
\end{cases}

Observe-se que a operação justaposição não é associativa. Com efeito, sejam:

 \alpha \in \Omega(X, x_{0}, x_{1})

 \beta \in \Omega(X, x_{1}, x_{2})

 \gamma \in \Omega(X, x_{2}, x_{3})

Tem-se:

(\alpha * \beta) * \gamma = \begin{cases}
\alpha(2t) \,\, 0 \leq t \leq \dfrac{1}{2},\\
\beta(4t - 2) \,\, \dfrac{1}{2} \leq t \leq \dfrac{3}{4},\\

\gamma(4t-3) \,\, \dfrac{3}{4} \leq  t \leq 1
\end{cases}

e

\alpha * (\beta * \gamma) = \begin{cases}
\alpha(4t) \,\, 0 \leq t \leq \dfrac{1}{4}\\
\beta(4t - 1) \,\, \dfrac{1}{4} \leq t \leq \dfrac{1}{2}\\

\gamma(2t-2) \,\, \dfrac{1}{2} \leq t \leq 1
\end{cases}

Notamos que os caminhos (\alpha * \beta) * \gamma e \alpha * (\beta * \gamma) são diferentes, porém, podemos mostrar que são homotópicos. De fato, basta considerar a homotopia:

 H : [0,1] \times [0,1] \rightarrow X

H(t,s) = \begin{cases}
\alpha \left(\dfrac{4t-s}{s+1} \right); \,\,\,\, 0 \leq t \leq \dfrac{s+1}{4},\\
\beta(4t - s - 1); \,\,\,\, \dfrac{s+1}{2} \leq t \leq \dfrac{s+2}{4},\\
\gamma\left(\dfrac{4t-s-2}{2-s}\right); \,\,\,\, \dfrac{s+2}{4} \leq t \leq 1
\end{cases}


Se considerarmos então como "equivalentes" dois caminhos homotópicos, teremos a associatividade da operação justaposição. A operação, agora entre classes de homotopia  [\alpha] e  [\beta] , denotaremos por  \cdot . Assim, quando consideramos o conjunto \Omega(X, x_{0}) de todos os lacetes com ponto base em x_0, a relação de equivalência  \mathcal{R} como \alpha \mathcal{R}\beta se, e só se  \alpha é homotópico a \beta e tomamos o quociente:


\dfrac{\Omega(X, x_0)}{\mathcal{R}}

temos que este conjunto com a operação justaposição entre classes de homotopia é um grupo, o qual denotamos por:

\Pi_{1}(X, x_{0}) = \left(\dfrac{\Omega(X, x_0)}{\mathcal{R}}, \cdot \right)

e denominamo-lo por grupo fundamental.


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