Axioma do conjunto vazio

Em teoria axiomática dos conjuntos, o axioma do conjunto vazio é um postulado lógico para garantir, formalmente, a existência de um conjunto sem elementos. O axioma possui, usando-se a linguagem da lógica formal , o seguinte enunciado:

$\exist X\, \forall y\, \lnot (y \in X).$

Em palavras,

Existe um conjunto sem elemento algum.

Uma conseqüência imediata do axioma da extensão é a existência de um único conjunto vazio. Realmente, se existissem dois conjuntos vazios, digamos $V_1$ e $V_2$, para mostrarmos que $V_1 \neq V_2$ deveríamos ser capazes de exibir um $x\in V_1$ tal que $x\not\in V_2$ ou senão um $x\in V_2$ tal que $x\not\in V_1$, pois, do contrário, o axioma da extensão implica $V_1 = V_2.$ Mas, ora, como $V_1$ e $V_2$ são vazios (não possuem elementos!), é impossível mostrar que $V_1 \neq V_2$ e, portanto, somos forçados a admitir que $V_1 = V_2$.

Como não existem dois conjuntos vazios, podemos dizer “o” conjunto vazio. Além disto, como é bastante adequado denotar um conjunto especial por um símbolo especial, convencionou-se em Matemática usar o símbolo $\varnothing$ ou ainda { } para representar o conjunto vazio.

Em algumas formulações da axiomática de Zermelo-Fraenkel, o axioma do vazio vem incluso no axioma do infinito; em outras não. Contudo, em qualquer modelo axiomático da teoria dos conjuntos que admita a existência de um conjunto e possua o axioma-esquema da separação, como Zermelo-Fraenkel, o axioma do conjunto vazio é derivado como teorema. Realmente, escolhe-se um predicado contraditório e aplica-se o axioma-esquema da separação para tal predicado. Por exemplo, escolhendo $\varphi(x) : x\neq x$, temos $\{x : \varphi(x)\} = \{x : x \neq x\} = \varnothing$.

Numa teoria axiomática de conjuntos em que o axioma-esquema da separação não é assumido, precisamos prová-lo como teorema usando o axioma-esquema da substituição; e, dependendo de como formulamos o axioma-esquema da substituição, pode ser necessário assumir o axioma do conjunto vazio.

Ver também

• Teoria geral dos conjuntos
• Teoria dos conjuntos de Kripke-Platek
• Teoria de conjuntos de Zermelo

Referências

• Burgess, John, 2005. Fixing Frege. Princeton Univ. Press.
• Coniglio, Marcelo. Teoria Axiomática de Conjuntos: Uma Introdução Campinas: Departamento de Filosofia – Universidade Estadual de Campinas.
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.