Operador adjunto

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Em matemática, e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.[1]

O adjunto de um operador A é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de A (após Charles Hermite) e é denotado por A^{*} ou A^{\dagger} , sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.[2]


{\color{RedViolet} \begin{array}{||c|} 
\hline 
{\color{Black} \text{ O conjugado de Hermitiano de um operator na Notação de Bra-ket } } \\
 \\
 {\color{Blue} \lang A^{\dagger} \phi | \psi \rang = \lang \phi | A \psi \rang \quad } \\
 \\
\hline
\end{array} }[3]


Definição para os operadores limitados[editar | editar código-fonte]

Suponha que H é um espaço de Hilbert, com o produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle. Considere uma operador linear contínuo A : H \rightarrow H (isso é o mesmo que um operador linear limitado).


Usando o teorema da representação de Riesz, pode-se mostrar que existe um operador linear contínuo único A^{*} : H \rightarrow H com a seguinte propriedade:

 \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang \quad \mbox{para todos } x,y\in H.

Esse operador A^{*} é o adjunto de A. Isto pode ser visto como uma generalização da matriz adjunta.


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Propriedades imediatas:

  1. A^{**} = A - Involução
  2. Se A é inversível, então assim é A^{*}, com {(A^{*})}^{-1} = {(A^{-1})}^{*}
  3. {(A + B)}^{*} = A^{*} + B^{*}
  4. {(\lambda A)}^{*} = \lambda^{*} A^{*}, onde \lambda^{*} denota o conjugado do número complexo \lambda
  5. {(AB)}^{*} = B^{*} A^{*}

Se nós definimos a norma operacional de A por

 \| A \| _{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \}

então

 \| A^* \| _{op} = \| A \| _{op} .

Além disso,

 \| A^* A \| _{op} = \| A \| _{op}^2

O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert H juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra C^{*}.


Operador Hermitiano[editar | editar código-fonte]

Um determinado operador A : H \rightarrow H é chamado Hermitiano, ou auto-adjunto, se[3] [4]

  A  = A^{*}

o qual é equivalente à

 \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang \mbox{ a todos } x,y\in H.

Em certo sentido, esses operadores desempenham o papel dos números reais, i.e., sendo igual ao seu próprio "conjugado".

Conjugado Hermitiano de um operador constante[editar | editar código-fonte]

Temos um operador K = a + ib , onde a e b são números reais, pela definição temos que o conjugado Hermitiano

\lang \phi | K \psi \rang = \lang K^{\dagger} \phi | \psi \rang \quad

Substituimos K por a + ib ,

\lang (a - ib) \phi | \psi \rang = \lang \phi | (a + ib) \psi \rang  =  (a + ib) \lang \phi | \psi \rang \quad

temos que, o conjugado de um operador hermitiano constante é o seu conjugado complexo.[5]

Adjuntos de operador antilinear[editar | editar código-fonte]

Para um operador antilinear a definição de adjunto necessita ser ajustado a fim de compensar a conjugação complexa. Um operador adjunto do operador antilinear A em um espaço de Hilbert H é um operador antilinear A^{*}: H \rightarrow H com a propriedade:

 \lang Ax , y \rang = \overline{\lang x , A^* y \rang} \quad \text{a todos } x,y\in H.

Outros adjuntos[editar | editar código-fonte]

Está Equação

 \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang

é formalmente semelhantes a definição de propriedades de pares de functor adjuntos na teoria da categoria, e neste momento que functor adjunto tem seu nome retirado.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Wikilivros
O wikilivro Álgebra linear tem uma página intitulada Transformações lineares
Commons
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