Operador adjunto

Em matemática, e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.

O adjunto de um aperador A é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de A (após Charles Hermite) e é denotado por A^* ou A^†, sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.

Definição para os operadores limitados

Suponha que H é um espaço de Hilbert, com o produto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle$. Considere uma operador linear contínuo A : H → H (isso é o mesmo que um operador linear limitado).

Usando o teorema da representação de Riesz, pode-se mostrar que existe um operador linear contínuo único A* : H → H com a seguinte propriedade:

$\lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang \quad \mbox{para todos } x,y\in H.$

Esse operador A* é o adjunto de A. Isto pode ser visto como uma generalização da matriz adjunta.

Propriedades

Propriedades imediatas:

1. A** = A
2. Se A é inversível, então assim é A*, com (A*)⁻¹ = (A⁻¹)*
3. (A + B)* = A* + B*
4. (λA)* = λ* A*, onde λ* denota o conjugado do número complexo λ
5. (AB)* = B*A*

Se nós definimos a norma operacional de A por

$\| A \| _{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \}$

então

$\| A^* \| _{op} = \| A \| _{op}$.

Além disso,

$\| A^* A \| _{op} = \| A \| _{op}^2$

O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert H juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra C*.

Operador Hermitiano

Um determinado operador A : H → H é chamado Hermitiano, ou auto-adjunto, se

$A = A^{*}$

o qual é equivalente à

$\lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang \mbox{ for all } x,y\in H.$

Em certo sentido, esses operadores desempenham o papel dos números reais, i.e., sendo igual ao seu próprio "conjugado".