Operador adjunto

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Em matemática, e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.

O adjunto de um aperador A é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de A (após Charles Hermite) e é denotado por A* ou A, sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.

Definição para os operadores limitados[editar | editar código-fonte]

Suponha que H é um espaço de Hilbert, com o produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle. Considere uma operador linear contínuo A : HH (isso é o mesmo que um operador linear limitado).


Usando o teorema da representação de Riesz, pode-se mostrar que existe um operador linear contínuo único A* : HH com a seguinte propriedade:

 \lang Ax , y \rang = \lang x , A^* y \rang \quad \mbox{para todos } x,y\in H.

Esse operador A* é o adjunto de A. Isto pode ser visto como uma generalização da matriz adjunta.


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Propriedades imediatas:

  1. A** = A
  2. Se A é inversível, então assim é A*, com (A*)−1 = (A−1)*
  3. (A + B)* = A* + B*
  4. A)* = λ* A*, onde λ* denota o conjugado do número complexo λ
  5. (AB)* = B*A*

Se nós definimos a norma operacional de A por

 \| A \| _{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \}

então

 \| A^* \| _{op} = \| A \| _{op} .

Além disso,

 \| A^* A \| _{op} = \| A \| _{op}^2

O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert H juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra C*.


Operador Hermitiano[editar | editar código-fonte]

Um determinado operador A : HH é chamado Hermitiano, ou auto-adjunto, se

  A  = A^{*}

o qual é equivalente à

 \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang \mbox{ for all } x,y\in H.

Em certo sentido, esses operadores desempenham o papel dos números reais, i.e., sendo igual ao seu próprio "conjugado".

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