Lei de Gauss

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A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo de campo elétrico que passa através de uma superfície fechada com a carga elétrica que existe dentro do volume limitado por esta superfície. A lei de Gauss é uma das quatro Equações de Maxwell, juntamente com a lei de Gauss do magnetismo, a lei da indução de Faraday e a lei de Ampère-Maxwell e foi elaborada por Carl Friedrich Gauss em 1835, porém só foi publicada após 1867.[1] Gauss foi um importante matemático alemão que fez descobertas em teoria dos números, geometria e probabilidade, tendo também contribuições em astronomia e na medição do tamanho e formato da Terra.[2]

Fluxo do campo elétrico[editar | editar código-fonte]

Figura 1: Linhas de campo elétrico "furando" uma superfície, mostrando que o existe fluxo de campo elétrico através da superfície. Como as linhas de campo estão saindo da superfície, o fluxo do campo elétrico é positivo.

O fluxo de campo elétrico, \Phi_E, é uma grandeza escalar e pode ser considerado como uma medida do número de linhas de campo que atravessam a superfície.[2] [3] Convenciona-se que se há mais linhas de campo saindo da superfície do que entrando, o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo e se há mais linhas de campo entrando na superfície do que saindo da mesma, o fluxo é negativo. Além disso, é importante observar o fato de que se o número de linhas de campo que entra na superfície é igual ao número de linhas de campo que sai da superfície, então o fluxo de campo elétrico através da superfície é nulo,[2] [4] como pode ser visto na figura 2.

Para obter o fluxo de E através de uma superfície fechada em que E é não-uniforme, é preciso dividi-la em elementos de área infinitesimal dA, cujo módulo é dA e o sentido de dA é adotado como o sentido da normal ao elemento infinitesimal saindo da superfície, de modo que esses elementos infinitesimais sejam tão pequenos que E possa ser considerado constante para todos os pontos dentro de um mesmo elemento de área.[2] Portanto, podemos definir o fluxo de E através de uma superfície S da seguinte forma:

\Phi_E = \int_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}

ou, no caso de uma superfície fechada:

\Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} \,\!

Da definição de produto escalar, tem-se que: E . dA = |E||dA| cosθ = |E|cosθ |dA|. Como θ é o ângulo entre os vetores E e dA, |E|cosθ é a projeção do vetor E sobre o vetor dA, logo a função desse produto escalar dentro da integral é selecionar algo proporcional à componente do campo elétrico que está "furando" à superfície infinitesimal dA, o que é coerente com a definição de fluxo dada anteriormente.

Por fim, se uma carga pontual estiver fora da superfície, as linhas de campo que partem da carga pontual irão entrar e sair da superfície, visto que as linhas de campo de uma carga pontual são radiais. Por isso, pode-se concluir que se uma carga está fora de uma superfície, então o fluxo do campo elétrico dessa carga através da superfície é nulo, ou seja:

\Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 0 \text{, se q estiver externa à superfície} \,\!

Figura 2: As linhas de campo elétrico entram e saem da superfície, portanto o fluxo de campo elétrico sobre a superfície é nulo.

Lei de Gauss[editar | editar código-fonte]

A lei de Gauss estabelece uma relação entre o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada e as cargas que estão no interior dessa superfície. Algumas considerações importantes sobre a de lei de Gauss são:

  • A lei de Gauss não contém nenhuma informação que não esteja contida na lei de Coulomb e no princípio da superposição. Inclusive, é possível obter a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss e vive-versa.[3]
  • É fundamental para a lei de Gauss, o fato de que a força elétrica é proporcional ao inverso do quadrado da distância. É esse fato que faz com que o fluxo de E não dependa da "superfície gaussiana" escolhida e dependa apenas das cargas que estão localizadas no interior da superfície. Dessa forma, é possível pensar numa lei de Gauss que estabeleça uma relação de fluxo para qualquer campo cuja lei de força associada a esse campo seja proporcional ao inverso do quadrado da distância, como a força gravitacional, por exemplo, logo existe uma lei de Gauss da gravitação.[3]
  • Apesar da lei de Coulomb nos fornecer o necessário para calcular o campo elétrico de uma distribuição de cargas, muitas vezes, as integrais que envolvem o cálculo do campo elétrico podem ser complicadas de serem resolvidas, mesmo para casos razoavelmente simples. É nesse ponto que reside um dos aspectos de maior eficiência da lei de Gauss: o cálculo do campo elétrico em distribuições de carga que possuam determinados tipos de simetria torna-se extremamente simples.[3]
  • A lei de Gauss se refere sempre ao fluxo no interior de uma superfície gaussiana escolhida. Portanto, para utilizar a lei de Gauss, é necessário definir o que é uma "superfície gaussiana". Esta é, por sua vez, uma superfície arbitrariamente escolhida. Normalmente, essa superfície é escolhida de modo que a simetria da distribuição de carga permita, ao menos em parte da superfície, um campo elétrico de intensidade constante.[2]

Forma integral da lei de Gauss[4] [editar | editar código-fonte]

Figura 3: Superfície gaussiana esférica centrada em q.

Para entender como a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico no interior de uma superfície gaussiana com a carga no interior dessa mesma superfície, escolhe-se uma superfície qualquer com uma carga q em seu interior, como por exemplo a superfície da figura 1. Então, escolhe-se outra superfície gaussiana S' que está envolvendo q no interior de S. A forma dessa superfície S' pode ser qualquer, contudo, a fim de facilitar os cálculos e a visualização, vamos fazer dessa superfície S', uma esfera de raio r centrada na carga q, como por exemplo a superfície gaussiana representada na figura 3. O raio r é tal que S' esteja inteiramente dentro de S. O fluxo do campo elétrico através dessa esfera é dado por:

\Phi_E = \oint_{S'} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}

Como tanto E quanto dA são radiais, o produto escalar torna-se o produto dos módulos, então:

\Phi_E = \oint_{S'} E\ dA

Como |E| é constante na superfície da esfera, podemos tirá-lo da integral e temos:

\Phi_E = E \oint_{S'} dA = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^{2}}\right) (4\pi r^{2}) = \frac {q}{\varepsilon_0}

Portanto, é possível observar que o fluxo através da superfície S' é um número que independe do raio da esfera. Dessa forma, o fluxo que sai da superfície S também será \frac {q}{\varepsilon_0} . Esse é um valor independente da forma da superfície S, desde que esta tenha uma carga q em seu interior. Se uma carga q está no exterior da superfície S, as suas linhas de campo entram e saem da superfície S, por isso, o fluxo de campo elétrico dessa carga sobre a superfície é nulo. Logo:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 0 \text{, se a carga está no exterior da superfície gaussiana.}

Por fim, se tivermos mais de uma carga no interior da superfície gaussiana, vale o princípio da superposição de modo que:

\oint_S \left(\mathbf{E_{1}} + \mathbf{E_{2}}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \oint_S \mathbf{E_{1}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} + \oint_S \mathbf{E_{2}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{q_{1} + q_{2}}{\varepsilon_0}

Portanto, a Lei de Gauss na forma integral pode ser enunciada da seguinte forma:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac {q_{int}}{\varepsilon_0}

Forma diferencial da lei de Gauss[3] [5] [editar | editar código-fonte]

Relação entre a lei de Gauss e a lei de Coulomb[editar | editar código-fonte]

Aplicações[2] [3] [editar | editar código-fonte]

É importante ressaltar que a lei de Gauss se torna eficiente apenas em casos em que há simetria. Mais precisamente, nos casos nos quais existe simetria esférica, cilíndrica ou plana.[3] Dessa forma, construir superfícies gaussianas que aproveitem a simetria é de vital importância para a aplicação da lei de Gauss,[2] visto que a eficiência da lei de Gauss consiste em utilizar a simetria das distribuições de carga para calcular campo elétrico dessas com mais facilidade.

Campo elétrico no interior e no exterior de uma esfera[editar | editar código-fonte]

Figura 4: Duas superfícies gaussianas esféricas em torno de uma esfera uniformemente carregada de raio R. A superfície gaussiana externa à esfera de raio R possui raio r' e a superfície gaussiana interna à esfera possui raio r.

Para uma esfera de raio R, como mostrada na figura 4, com carga Q uniformemente distribuída pela esfera, tem-se:

No exterior da esfera

Para se obter o campo no exterior da esfera, escolhe-se, como superfície gaussiana, a superfície esférica de raio r', situada no exterior da esfera de raio R, como mostra a figura 4. Pode-se imaginar que, muito longe da esfera, o campo elétrico que se sente é como o campo de uma carga puntiforme. Além disso, devido à simetria esférica, o campo elétrico deve apontar na direção radial. Dessa forma, aplicando a lei de Gauss:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac {q_{int}}{\varepsilon_0} = \frac {Q}{\varepsilon_0}

O campo deve apontar na direção radial e, portanto, E e dA possuem a mesma direção e sentido e, por isso, segue que: E . dA = E dA. Logo:

\oint_{S} E\ dA = \frac {Q}{\varepsilon_0}

O módulo do campo elétrico na superfície gaussiana é constante, visto que, nesse caso, o campo deve depender da distância em relação à esfera e, portanto, E pode sair da Integral.

E \oint_{S} dA = \frac {Q}{\varepsilon_0}
E \left( 4\pi r'^{2} \right)  = \frac {Q}{\varepsilon_0}
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r'^{2}}

Logo:

\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r'^{2}} \hat{\mathbf{r}}
No interior da esfera

Para como o campo elétrico varia no interior da esfera, deve-se tomar como superfície Gaussiana a superfície esférica de raio r no interior da esfera de raio R, como mostra a figura 4. Nesse caso, como a carga está uniformemente distribuída pela esfera, a densidade volumétrica de carga, ρ, é a mesma em todos os pontos da esfera,então pode-se observar que:

q_{int} = \rho V_{g} =  \left(\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} \right)\left(\frac{4}{3} \pi r^{3} \right) = Q \ \frac{r^{3}}{R^{3}}

onde Vg é o volume da superfície gaussiana escolhida.

Dessa forma:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} =  \frac{Q}{\varepsilon_0} \ \frac{r^{3}}{R^{3}}

Os mesmos argumentos dados anteriormente para que o produto escalar E . dA seja E dA e para que E saia da integral continuam sendo válidos, logo:

\oint_{S} E\ dA = \frac{Q}{\varepsilon_0} \ \frac{r^{3}}{R^{3}}
E \oint_{S} dA = \frac{Q}{\varepsilon_0} \ \frac{r^{3}}{R^{3}}
E \left(4\pi r^{2} \right)  = \frac{Q}{\varepsilon_0} \ \frac{r^{3}}{R^{3}}
E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r}{R^{3}}

Logo:

\mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r}{R^{3}} \hat{\mathbf{r}}

Portanto, no caso de uma esfera uniformemente carregada:

\mathbf{E} =
\begin{cases}
 \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r}{R^{3}} \hat{\mathbf{r}}, & \mbox{se }  r < R \\
 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}},  & \mbox{se } r > R
\end{cases}

Campo elétrico no interior e no exterior de uma casca esférica[editar | editar código-fonte]

Para se resolver esse problema, utiliza-se a figura 4 novamente, porém com uma ligeira diferença: o interior da esfera de raio R é "oco", isto é, tem-se apenas uma casca esférica com carga Q uniformemente distribuída sobre sua superfície.

No exterior da esfera

Escolhendo a superfície de raio r' como mostrada na figura 4, tem-se, pela lei de Gauss, o mesmo resultado que foi obtido para o campo no exterior de uma esfera. A carga interna à superfície gaussiana, qint, é Q nesse caso, como no caso anterior da esfera uniformemente carregada, de forma que o cálculo para o campo elétrico exterior à da casca esférica se desenvolve da mesma forma que o cálculo para o campo no exterior à esfera uniformemente carregada, então:

\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r'^{2}} \hat{\mathbf{r}}
No interior da casca esférica

Escolhendo a superfície gaussiana de raio r, no interior da casca esférica, tem-se:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac {q_{int}}{\varepsilon_0} = 0
\oint_{S} E\ dA = 0
E \oint_{S} dA = 0
E \left(4\pi r^{2} \right)  = 0

Portanto:

E = 0

Logo:

\mathbf{E} = \mathbf{0}

Portanto, no caso de uma casca esférica uniformemente carregada:

\mathbf{E} =
\begin{cases}
 \mathbf{0}, & \mbox{se }  r < R \\
 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}},  & \mbox{se } r > R
\end{cases}

Campo elétrico de um plano infinito[editar | editar código-fonte]

Figura 5: Um exemplo de superfície gaussiana que se deve utilizar para obter o campo de um plano infinito é como a que está mostrada sobre a placa de baixo do capacitor.

Supõe-se um plano infinito com densidade de carga σ e se deseja calcular o campo elétrico produzido por esse plano. Apesar de o problema ser bem diferente do apresentado na figura 5, visto que, no problema em questão, está-se estudando um plano infinito e não o campo no interior de um capacitor, é interessante utilizar uma superfície gaussiana de mesma forma que a superfície retratada na placa de baixo do capacitor da figura 5. Utilizando, portanto, a superfície de um paralelepípedo cortando o plano infinito como superfície S, tem-se:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac {q_{int}}{\varepsilon_0}

Por simetria, o campo elétrico deve apontar para "fora" do plano, isto é, ele aponta na direção \hat{\mathbf{z}} para pontos acima do plano e na direção -\hat{\mathbf{z}} para pontos abaixo do plano. Dessa forma, as únicas superfícies superior e inferior da superfície do paralelepípedo é que serão "furadas" pelo campo elétrico, por isso:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \int_{S1+S2} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \int_{S1+S2} E\ dA = E\int_{S1+S2} dA = 2AE

onde A é a área da superfície superior e inferior da superfície do paralelepípedo. Sabe-se, também, que : σ = qint/A, logo : qint = σA, portanto:

 2AE = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}
 E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}

ou

\mathbf{E} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\hat{\mathbf{n}}

onde \hat{\mathbf{n}} é um vetor unitário que aponta para fora da superfície do plano.

Lei de Gauss para dielétricos[3] [editar | editar código-fonte]

Cargas livres e cargas ligadas[editar | editar código-fonte]

Figura 6: Ilustração da polarização de um material dielétrico.

Um dielétrico em presença de um campo elétrico, sofre o que se chama de polarização. A polarização consiste na separação das cargas positivas e negativas desse dielétrico, visto que o campo elétrico acelera cargas positivas no sentido do campo e cargas negativas no sentido oposto. Essas cargas geradas por esse efeito de polarização é o que se chama de cargas ligadas. O material passa a ser constituído de dipolos, como mostrado na figura 6. Dessa forma, as cargas estão "presas" aos dipolos, não estão livres para se mover. Por sua vez, é chamado de carga livre, o restante das cargas, que não foram geradas por esse efeito de polarização. As cargas livres são as cargas com as quais se está mais habituado quando se estuda eletrostática. Desse modo, num dielétrico, a densidade volumétrica de carga pode ser escrita como:

 \rho = \rho_{lig} + \rho_{liv}

onde \rho_{lig} é a densidade volumétrica de carga ligada e \rho_{liv} é a densidade volumétrica de carga livre.

Demonstração da lei de Gauss para dielétricos[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Bellone, Enrico. A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution. [S.l.: s.n.], 1980.
  2. a b c d e f g h Halliday, D., Resnick, R., Krane, K. Física 3, 5a ed. GEN|LTC (2010).
  3. a b c d e f g h i Griffiths, D. J. Introduction to Electrodynamics, 3a ed. New Jersey: Prentice Hall (1999).
  4. a b Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands M. The Feynman Lectures on Physics,vol 2. 2a ed. Bookman (2008).
  5. Jackson J. D. Classical Eletrodynamics, 2a ed. John Sons and wiley (1975).

Ver também[editar | editar código-fonte]