Atlas (topologia)

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Em topologia, um atlas é um conjunto de cartas da mesma variedade, em que a variedade é a união das imagens das cartas.

Existem várias definições equivalentes para um atlas, mas a ideia subjacente é que, dado um espaço M (que pode, ou não, ser um espaço topológico ou apenas um conjunto) que se deseja estudar, e um espaço topológico E (E normalmente tem uma estrutura mais rica que a topologia, por exemplo, E = Rn), um atlas é uma coleção de funções bijetivas \phi_i: U_i \to V_i\,, em que i percorre um conjunto de índices, satisfazendo:

  • Os Ui são abertos de E
  • Todos Vi cobrem M
  • Se, para i ≠ j, os conjuntos Vi e Vj tem uma interseção não-vazia W, então as funções φi e φj, quando restritas às imagens inversas de W, devem satisfazer determinadas propriedades

Estas propriedades dependem da estrutura que se deseja impor à variedade M. No caso mais básico, de M ser uma variedade topológica, a composição φj-1 o φi, quando restrita a φi-1(W), deve ser um homeomorfismo. Esta função equivale a "subir" de E para M via φi e, em seguida, "descer" para E via φj.

No caso mais geral, outras propriedades podem ser impostas a esta função, por exemplo, se E for Rn, pode-se impor que esta função seja diferenciável, infinitamente diferenciável, ou analítica.

Quando M já tem, a priori, uma topologia, é requerido que as funções φi sejam homeomorfismos; caso contrário, a topologia de M é aquela gerada pela base φi(A), sendo A cada aberto de Ui.

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