Raio de convergência

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Na teoria das Séries de Taylor, o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da circunferência em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.

No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto (a-R,a+R)\,, onde a\, é centro da série e R\, é o raio de convergência. Nada se pode afirmar sobre a convergência nos extremos do intervalo. e No caso das séries complexas, pode-se garantir que a série convirja na bola aberta |x-a|<R\,. Mais uma vez, nada se pode afirmar sobre a circunferência |x-a|=R\,

A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência:

R^{-1}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}\,, onde a_n\, são os coeficientes da série:
\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n\,

Existe um forma alternativa que é: R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\,, quando este limite existe.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência \left(R=1\right)\,.

  • f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^n\,
  • g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}\,
  • h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}\,

A convergência na circunferência R=1\,, no entanto, é diferente para cada caso:

Uma série pode ter raio de convergência nulo:

  • f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}n! z^n\,

Esta série não pode convegir para nenhum z\neq 0\, pelo teste do termo geral, convergindo apenas para z=0\,

Uma série pode ter raio de convergência infinito:

  • f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{Z^n}{n!}\,

Neste caso, a série converge para todo z.

A fórmula de Hadamard[editar | editar código-fonte]

A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:

R^{-1}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}\,

Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.

O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola |Z-a|\leq r<R\,. Afirma ainda que a série não converge para nenhum ponto Z\, tal que |Z-a|>R\,.

Para mostrar a primeira parte, escolha r<R\,. Escolha um \varepsilon>0\, tal que R^{-1}+\varepsilon<\rho^{-1}<r^{-1}\,

Da definição de limite superior temos:

|a_n|^{1/n}<R^{-1}+\varepsilon<\rho^{-1},~~n>N\, para algum N\,

Agora podemos estimar os termos da série:

|a_n(Z-a)^n|\leq \rho^{-n}r^n=\left(\frac{\rho}{r}\right)^{-n},~~n>N\,

E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass, comparando com a série numérica M_n=\left(\frac{\rho}{r}\right)^{-n}\, que é convergente.

Agora escolha um Z\, tal que |Z-a|>R\,. Escolha \varepsilon\, tal que R^{-1}-\varepsilon>|Z-a|^{-1}\,, da definição de limite superior, temos a existência de uma subseqüência \{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\, tal que:

|a_{n_k}|^{1/{n_k}} > R^{-1}-\varepsilon >|Z-a|^{-1}\,

Assim a o termo a_{n_k}|Z-a|^{n_k}\, não converge a zero e portanto a série não converge pelo teste do termo geral.

Ver também[editar | editar código-fonte]