Nabla

Nabla é um símbolo, escrito como ∇. O nome vem de uma palavra grega para um tipo de harpa com uma forma semelhante. Palavras semelhantes existem também em Aramaico e Hebraico.

Outro nome, menos usado, para o símbolo é atled, porque é um delta invertido verticalmente.

O símbolo nabla está disponível em HTML padrão como ∇ e em LaTeX como \nabla. Em Unicode, é o caracter com o número decimal 8711, ou o número hexadecimal 0x2207.

O nabla é usado em matemática para denominar o operador diferencial del no cálculo vectorial. Foi introduzido por William Rowan Hamilton, como uma derivada vetorial de uma função escalar.

Matemática

Em matemática o operador del é definido, num sistema de coordenadas ortogonal, como:

$\nabla = \frac{\hat{q}_1}{h_1}{\partial \over \partial q_1} + \frac{\hat{q}_2}{h_2}{\partial \over \partial q_2}+ \frac{\hat{q}_3}{h_3}{\partial \over \partial q_3}$

onde $h_i$ é o módulo do vector $\hat{q}_i$.

O quadrado do operador nabla, $\nabla ^2$, é o operador Laplaciano.

Coordenadas Cartesianas

Em coordenadas cartesianas, em que $h_i=1$ obtém-se:

$\nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z}.$

Coordenadas Cilíndricas

Em coordenadas cilíndricas em que $h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho$, obtém-se:

$\nabla = \hat{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho} +\frac{\hat{\varphi}}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi}+ \hat{z}\frac{\partial }{\partial z}$

Coordenadas Esféricas

Em coordenadas esféricas, em que $h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta$, obtém-se:

$\nabla = \hat{r}\frac{\partial }{\partial r} +\frac{\hat{\theta}}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+ \frac{\hat{\varphi}}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}$

Identidades

A seguir, algumas identidades com o operador nabla (sendo f uma função escalar e $\mathbf{u}$ um campo vetorial):

$\nabla \times \nabla f = 0$

$\nabla \cdot \nabla f = \nabla ^2 f$

$(\mathbf{u} \cdot \nabla )\mathbf{u} = \nabla \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} }{2} \right) - \mathbf{u} \times (\nabla \times \mathbf{u})$

$\nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = 0$

$\nabla \times \nabla \times \mathbf{u} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u} ) - \nabla ^2 \mathbf{u}$