Nabla

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Nabla é um símbolo, escrito como ∇. O nome vem de uma palavra grega para um tipo de harpa com uma forma semelhante. Palavras semelhantes existem também em Aramaico e Hebraico.

Outro nome, menos usado, para o símbolo é atled, porque é um delta invertido verticalmente.

O símbolo nabla está disponível em HTML padrão como ∇ e em LaTeX como \nabla. Em Unicode, é o caracter com o número decimal 8711, ou o número hexadecimal 0x2207.

O nabla é usado em matemática para denominar o operador diferencial del no cálculo vectorial. Foi introduzido por William Rowan Hamilton, como uma derivada vetorial de uma função escalar.

Matemática[editar | editar código-fonte]

Em matemática o operador del é definido, num sistema de coordenadas ortogonais, como:

\nabla = \frac{\hat{q}_1}{h_1}{\partial \over \partial q_1} + 
\frac{\hat{q}_2}{h_2}{\partial \over \partial q_2}+
\frac{\hat{q}_3}{h_3}{\partial \over \partial q_3}

onde h_i é o módulo do vector \hat{q}_i.

O quadrado do operador nabla, \nabla ^2, é o operador Laplaciano.

Coordenadas Cartesianas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cartesianas, em que h_i=1 obtém-se:

\nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z}.

Coordenadas Cilíndricas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas cilíndricas em que h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho, obtém-se:


\nabla = \hat{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}
+\frac{\hat{\varphi}}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi}+
\hat{z}\frac{\partial }{\partial z}

Coordenadas Esféricas[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas esféricas, em que h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta, obtém-se:


\nabla = \hat{r}\frac{\partial }{\partial r}
+\frac{\hat{\theta}}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+
\frac{\hat{\varphi}}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}

Identidades[editar | editar código-fonte]

A seguir, algumas identidades com o operador nabla (sendo f uma função escalar e \mathbf{u} um campo vetorial):

\nabla \times \nabla f = 0

\nabla \cdot \nabla f = \nabla ^2 f

(\mathbf{u} \cdot \nabla )\mathbf{u} = \nabla \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} }{2} \right) - \mathbf{u} \times (\nabla \times \mathbf{u})

\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf{u}\right) = 0

\nabla \times \nabla \times \mathbf{u} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u} ) - \nabla ^2 \mathbf{u}

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