Parênteses de Poisson

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Definição[editar | editar código-fonte]

O Parênteses de Poisson(ou os colchetes de Poisson) de duas funções u e v das variáveis canônicas qi e pi é definido como:

\left[u,v\right]_{q,p} = \sum_{i=1}^{N} \left( 
\frac{\partial u}{\partial q_{i}} \frac{\partial v}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial u}{\partial p_{i}} \frac{\partial v}{\partial q_{i}}
\right) .

Propriedades algébricas[editar | editar código-fonte]

Os colchetes de Poisson possuem as seguintes propriedades:

  • P1
\left[ q_i, p_j \right] = \delta_{ij};
  • P2
\left[ q_i, q_j \right] = 0;
  • P3
\left[ p_i, p_j \right] = 0;
  • P4
\left[u,u\right]=0;
  • P5
Anticomutatividade: \left[u,v\right] = - \left[v,u\right];
  • P6
Linearidade (a e b constantes): \left[au+bv,w\right] = a\left[u,w\right] + b\left[v,w\right];
  • P7
Regra da cadeia: \left[uv,w\right] = \left[u,w\right]v + u\left[v,w\right];
  • P8
Identidade de Jacobi: \left[u,\left[v,w\right]\right] + \left[v,\left[w,u\right]\right] + \left[w,\left[u,v\right]\right] = 0.

Equações de Hamilton[editar | editar código-fonte]

Artigo principal: equações de Hamilton.


As equações de Hamilton são geralmente escritas como segue:

\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}
\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}

Essas equações podem ser escritas com o uso dos colchetes de Poisson:

\frac{dq}{dt} = \left[q,\mathcal{H}\right] \qquad \qquad \qquad
\frac{dp}{dt} = \left[p, \mathcal{H}\right]
,

com \mathcal{H} representando o hamiltoniano

Além disso, a função u de qi, pi e t possui derivada temporal dada pela seguinte relação:

\frac{du}{dt} = \left[u, \mathcal{H}\right]+ \frac{\partial u}{\partial t}
.