Parênteses de Poisson

Definição

O Parênteses de Poisson(ou os colchetes de Poisson) de duas funções u e v das variáveis canônicas q_i e p_i é definido como:

$\left[u,v\right]_{q,p} = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial u}{\partial q_{i}} \frac{\partial v}{\partial p_{i}} - \frac{\partial u}{\partial p_{i}} \frac{\partial v}{\partial q_{i}} \right)$.

Propriedades algébricas

Os colchetes de Poisson possuem as seguintes propriedades:

• P1

$\left[ q_i, p_j \right] = \delta_{ij}$;

• P2

$\left[ q_i, q_j \right] = 0$;

• P3

$\left[ p_i, p_j \right] = 0$;

• P4

$\left[u,u\right]=0$;

• P5

Anticomutatividade: $\left[u,v\right] = - \left[v,u\right]$;

• P6

Linearidade (a e b constantes): $\left[au+bv,w\right] = a\left[u,w\right] + b\left[v,w\right]$;

• P7

Regra da cadeia: $\left[uv,w\right] = \left[u,w\right]v + u\left[v,w\right]$;

• P8

Identidade de Jacobi: $\left[u,\left[v,w\right]\right] + \left[v,\left[w,u\right]\right] + \left[w,\left[u,v\right]\right] = 0$.

Equações de Hamilton

Artigo principal: equações de Hamilton.

As equações de Hamilton são geralmente escritas como segue:

$\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$

$\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}$

Essas equações podem ser escritas com o uso dos colchetes de Poisson:

$\frac{dq}{dt} = \left[q,\mathcal{H}\right] \qquad \qquad \qquad \frac{dp}{dt} = \left[p, \mathcal{H}\right]$,

com $\mathcal{H}$ representando o hamiltoniano

Além disso, a função $u$ de q_i, p_i e t possui derivada temporal dada pela seguinte relação:

$\frac{du}{dt} = \left[u, \mathcal{H}\right]+ \frac{\partial u}{\partial t}$.