Algarismos indo-arábicos

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Mapa da Civilização do Vale do Indo
Selo postal da União Soviética com a imagem de al-Khwarizmi

Os algarismos indo-arábicos ou simplesmente arábicos, foram criados e desenvolvidos pela Civilização do Vale do Indo (região onde atualmente se localiza o Paquistão) e trazidos para o Mundo ocidental. [1] [2] O sistema de numeração arábico é considerado um dos avanços mais significativos das matemáticas.

História[editar | editar código-fonte]

Numeração utilizada no manuscrito Bakhshali, datado entre o século II a.C. e o século II d.C.
Numeração brahmi (linha inferior), na Índia, no século I d.C,

A maioria dos historiadores coincide em afirmar que teve a sua origem na Índia (de fato, no árabe, este sistema de numeração é chamado de "Números Indianos", أرقام هندية, arqam hindiyyah), e expandiu-se pelo mundo islâmico e daí, via al-Andalus, pelo resto da Europa.

Este sistema de numeração chegou a Oriente Médio por volta de 670.

A primeira inscrição universalmente aceita que contém o uso do "0" é registrada pela primeira vez no século IX, em uma inscrição em Gualior na Índia Central, datada de 870 d.C. Por esta altura, a utilização do zero já atingira a Pérsia, tendo este sido mencionado por Al-Khwarizmi nas suas descrições dos numerais hindus. Existem numerosos documentos indianos, a partir do século VI, em placas de cobre, que contêm o mesmo símbolo para o zero.[3]

No século X os matemáticos árabes incluíram no seu sistema de numeração as frações. Al-Khwarizmi escreveu o livro "A respeito dos cálculos com os números da Índia" por volta de 825 e Al-Kindi escreveu "O uso dos números da Índia" em quatro volumes. O seu trabalho foi muito importante na difusão do sistema no Oriente Médio e no Ocidente.[4]

O sistema de numeração veio a ser conhecido tanto para o matemático persa Al-Khwarizmi, quanto para o matemático árabe Al-Kindi, que escreveu quatro volumes, "no uso dos numerais indianos" (Ketab fi Isti'mal al-'Adad al-Hindi) por volta de 830. Seu trabalho foi o principal responsável pela difusão do sistema indiano de numeração no Oriente Médio e no Ocidente. < [5] No século X, matemáticos do Oriente Médio estenderam o sistema de numeração decimal para incluir frações, como se registra em um tratado do matemático sírio Abu'l-Hasan al-Uqlidisi em 952-953. A notação do ponto decimal foi introduzida por Sind ibn Ali, que também escreveu o mais antigo tratado em algarismos arábicos.

História da difusão na Europa[editar | editar código-fonte]

Na literatura ocidental, as primeiras menções destes algarismos encontram-se no Codex Virgilianus de 976.[6]

A partir de 980 Gerberto de Aurillac (que seria mais tarde o papa Silvestre II), fez uso do seu ofício papal para difundir o conhecimento do sistema na Europa. Silvestre II estudou em Barcelona durante a sua juventude. No século XII, traduções para o latim da obra de al-Khwarizmi (778 (?) - 846) sobre os numerais indianos (Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala) apresentaram a notação posicional decimal para o Mundo Ocidental.

Cquote1.svg "Regulae Abaci, l'autre intitulé: De numeris, sont la même chose que l'Abacus.[7] .” Cquote2.svg

Fibonacci, um matemático italiano que estudara em Bugia (Argélia), contribuiu para a difusão pela Europa do sistema arábico com o seu livro Liber Abaci, publicado em 1202.

Contudo, não foi senão até a invenção da imprensa em 1450, quando este sistema de numeração começou a ser empregue de modo generalizado na Europa; por volta do século XV, são já usados amplamente.

Na Rússia, pela sua vez, os números arábicos substituíram os cirílicos por volta de 1700, quando foram introduzidos pelo czar Pedro I.

Grafia Ocidental[editar | editar código-fonte]

Genealogia das numerações brahmi, gwalior, sânscrita-devanagari e arabes (1935).

Por volta do século X começou a surgir, no Magrebe e no al-Andalus, uma variante ocidental dos algarismos árabes, chamada ghubar ("areia de mesa" ou "pó de mesa"), que são a origem direta dos modernos algarismos arábicos ocidentais utilizados em todo o mundo.[8]

Obras medievais sobre os algarismos arábicos[editar | editar código-fonte]

  • Modus Indorum [4]
  • De numerorum abaci rationibus [5]
  • Regulae Abaci, De numeris e Abacus são a mesma coisa [9]
  • Algorismus de integris
  • Algorismus de integris abbreviatus
  • Algorismus vulgaris
  • Algorismus cifra [6]
  • Numeri in abaco scribendi - Filippo Calandri, De Arithmetica, Florença: Lorenzo Morgiani e Johannes Petri, 1 de Janeiro, 1491-92.[7]
  • Arabicè ciphra
  • Dixit algorizmi [8]
  • Algoritmi de número Indorum [9]
  • 1839. Fonte obtida em: Medieval MSS. Edição impressa na "Rara Mathematica" por J. O. Halliwell, em 1839. Carmen de Algorismo. Alexander de Villa Dei. "A Arte dos Algarismos": Um poema em Latim sobre o que é a arte de calcular, usando a introdução inovadora dos algarismos arábicos (indo-arábicos). [10]
  • 1839. Fonte obtida de edição impressa do livro "Rara Mathematica", publicado por J.O. Halliwell, em Londres, 1839. Um tratado medieval sobre a matemática com o título TRACTATUS DE ARTE NUMERANDI, escrito por Joannis de Sacrobosco. Outro título utilizado frequentemente para este trabalho é DE ARITHMETICA. Originais do trabalho datados do século XIII, cerca de 1225.[11]

Figuras medievais[editar | editar código-fonte]

Tabela com "apices" na Idade Média
Table of numerals

Difusão européia dos algarismos indo-arábicos[editar | editar código-fonte]

Figura que caricatura a invasão dos números Sarracenos através de uma ponte para a Europa.

Os algarismos indo-arábicos foram adotados na Europa, paulatinamente, na Baixa Idade Média.
De seu nome (al-khwarizmi) originou-se em português a palavra "algarismo".
Um marco consistente foi a publicação por Fibonacci, matemático e mercador italiano, do seu livro Liber Abaci [12] com os conhecimentos que adquiriu no Oriente.

Os algarismos indo-arábicos são, atualmente, as formas de simbolismo mais comumente usadas para representar os números.
O sistema de numeração consiste dos símbolos abaixo:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0

que são derivados e correspondentes da versão ainda hoje usada no mundo muçulmano:

٩, ٨, ٧, ٦, ٥, ٤, ٣, ٢, ١, e ٠

Figuras medievais do uso concomitante do ábaco e dos algarismos[editar | editar código-fonte]

Figuras medievais dos algarismos em páginas de livros[editar | editar código-fonte]

Filippo Calandri, De Arithmetica, Florença: Lorenzo Morgiani e Johannes Petri, 1 de Janeiro, 1491-92. Página 145 com a terminologia "Numeri in abaco scribendi" referindo-se aos algarismos arábicos.
Figura da grafia manuscrita com o correto sequenciamento e formato dos algarismos arábicos na página de título do livro " Libro Intitulado Arithmetica Practica " por Juan de Yciar, matemático e calígrafo Basco, Saragossa 1549.

























Paleografia dos algarismos[editar | editar código-fonte]

Provável sequencia lógica dos números arábicos e dos algarismos

Porém duas questões ainda são pertinentes, entre alguns matemáticos, em relação à paleografia dos algarismos:

  • Será que todos os algarismos que usamos atualmente seriam na realidade ideogramas numéricos?
  • Teriam sido estes símbolos idealizados de uma maneira lógica?



























Enganos frequentes na etimologia popular[editar | editar código-fonte]

Apesar de evidências em contrário, ainda persistem algumas explicações folclóricas para a origem dos algarismos.

Apesar de evidências em contrário, ainda persistem algumas explicações folclóricas para a origem dos algarismos.

Estas hipóteses continuam a se propagar devido ao fato que utilizam argumentos bem construídos, mas elas, ainda, estão baseadas apenas em especulações.

Estas especulações, se baseiam na possibilidade de ser cada algarismo um desenho de um ideograma numérico, que seriam obtidos a partir do número de ângulos de cada algarismo, o número de pontos, de diâmetros e arcos, etc. [10]

Assim, diversas hipóteses existem sobre a concepção dos algarismos:
a) Número de ângulos existentes no desenho de cada algarismo.
b) Número de traços contidos no desenho de cada algarismo.
c) Número de pontos de cada algarismo.
d) Número de diâmetros e arcos de circunferência contidos no desenho de cada algarismo.
e) Figuras desenhadas a partir dos traços de um quadrado e suas diagonais.

Um exemplo popular de tais mitos argumenta que as formas originais destes símbolos indicam seu valor através da quantidade de ângulos que eles contém.[11] [12]

Numerosarabigosporangulos.png









Teoria sobre a paleografia dos algarismos arábicos: 1, 2, 3 e 4[editar | editar código-fonte]

Teoricamente pode-se supor que cada algarismo continha originalmente exatamente a quantidade de ângulos cujo número se desejava representar.
Esta figura explana a “Nova teoria da raiz gráfica dos modernos numerais europeus ou, simplesmente, algarismos”. Cada numeral que usamos atualmente deveria ser lido como um ideograma numérico. Hipoteticamente os numerais foram grafados e definidos usando aritmética simples: a) O numeral 1 (um), 2 (dois), 3 (três), 4 (quatro) foram baseados em ângulos aditivos. b) Os numerais 5 (cinco), 6 (seis), 7 (sete), 8 (oito), 9 (nove), o (dez) foram definidos usando os conhecimentos acerca das notações manuscritas dos ábacos. Neste caso foi usado um pequeno e especial ábaco que tinha apenas seis contas de base cinco-dez de modo semelhante à mão humana.

Teoricamente pode-se supor que cada algarismo continha originalmente exatamente à quantidade de ângulos cujo número se desejava representar.

Assim o algarismo "1" era representado por dois traços que se uniam num vórtice superior (como um "V" invertido), o "2" como um "Z", o "3" como um sigma (Σ) invertido, o "4" quase exatamente como é hoje.

Em outras palavras, os números arábicos um, dois, três e quatro foram baseados em traços que formam ângulos, assim:
a) O número um tem um ângulo,
b) O número dois tem dois ângulos aditivos,
c) O número três tem três ângulos aditivos,
d) O número quatro tem quatro ângulos aditivos.
Teoricamente, devido à escrita cursiva, o número quatro teria sido modificado e fechado, facilitando a sua caligrafia e futura tipografia, tornando-o diferente, por exemplo, do símbolo da cruz.[13]

Teoria sobre a paleografia dos algarismos arábicos: 5,6,7,8,9 e 0[editar | editar código-fonte]

Teoricamente, os números: “5“ (cinco/quinto), “6“ (seis/sexto), “7“ (sete/sétimo), “8“ (oito/oitavo), “9“ (nove/nono), e “0“ (dez/décimo) foram definidos usando os conhecimentos sobre as representações manuscritas do ábaco.
Na paleografia destes algarismos, teria sido utilizado um tipo simplificado de ábaco de base cinco/dez, que foi especialmente usado de modo semelhante a representar os valores de cada mão humana.

























A incógnita do sétimo algarismo[editar | editar código-fonte]

A involução da grafia do numeral sete ainda necessita de mais pesquisa paleográfica. Porém, esta figuras grafadas nestes relógios podem dar uma pista da sua involução.

Relógio com algarismos
Relógio com algarismo













Teoria sobre a paleografia do "zero": definindo um símbolo para o zero[editar | editar código-fonte]

O "zero" foi introduzido posteriormente e a sua correta notação foi de extrema importância histórica, pois a cadência decimal usada pelos números indo-arábicos impunha a sua representação gráfica. Esta representação teria sido historicamente demorada por corresponder à casa vazia do ábaco.
Também o fato de o símbolo do zero ser um círculo, e este não apresentar ângulo algum, é um indicativo de que a origem deste algarismo seguiu o mesmo principio da origem dos outros algarismos

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. The Hindu-Arabic Numerals. David Eugene Smith and Louis Charles Karpinski, (1911)
  2. Number Words and Number Symbols - A Cultural Hystory of Numbers. Karl Menninger. ISBN 0-486-27096-3 [1].
  3. Kaplan, Robert. (2000). The Nothing That Is: A Natural History of Zero, Oxford: Oxford University Press
  4. The MacTutor History of Mathematics archive
  5. The MacTutor History of Mathematics archive
  6. Mathorigins.com
  7. Regulae Abaci, l'autre intitulé: De numeris, sont la même chose que l'Abacus. [2] Regulae abaci [3].
  8. Gandz, Solomon (November 1931), "The Origin of the Ghubār Numerals, or the Arabian Abacus and the Articuli", Isis 16 (2): 393–424, doi:10.1086/346615 
  9. Patrologia Latina Vol 139 Silvester II
  10. http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/algarismos/arabes.htm
  11. http://www.scribd.com/doc/13244252/Number-Story
  12. Cajori, Florian. ([1928] 2007). "A History of Mathematical Notations", in Vol I: Notations Mathematics, Myers Press. pp. 64-66 ISBN 1-40670-920-9.