Princípio diamante

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Em matemática, e particularmente na teoria axiomática dos conjuntos, o princípio diamante (◊) é um princípio combinatório introduzido por Björn Jensen (1972) que é verdadeiro no universo construível[1] [2] e que implica na hipótese do continuum.[3]

"O princípio ◊ω1 é o mesmo que ◊."

Jensen extraiu o princípio de diamante de sua prova de que V = L implica a existência de uma árvore Suslin[nota 1] [4] [5] .


Definição[editar | editar código-fonte]

O princípio diamante ◊ (ouro) diz que existe uma seqüência-◊, em outras palavras, conjuntos de Aα⊆α para α<ω1 tal que para qualquer subconjunto A de ω1 o conjunto de α com A∩α = Aα é estacionário em ω1.

Mais geralmente, para um determinado número cardinal \kappa e um conjunto estacionário[nota 2]  S\subseteq\kappa , a declaração ◊S (por vezes escrita como ◊ (S) ou ◊κ(S)) é a afirmação de que há uma seqüência \langle A_\alpha: \alpha \in S \rangle de tal forma que:

  • cada  A_\alpha \subseteq \alpha
  • para cada  A \subseteq \kappa, \{\alpha \in S: A \cap \alpha = A_\alpha\} é fixo em \kappa

O princípio ◊ω1 é o mesmo que ◊.

Propriedades e utilização[editar | editar código-fonte]

Jensen demonstrou que o princípio diamante ◊ implica a existência de árvores Suslin. Ele também mostrou que ◊ implica na HC. Também ♣ + HC implica ◊, mas Saharon Shelah deu modelos de ♣ + ¬ HC, deste modo ◊ (naipe ouro) e ♣ (naipe paus) não são equivalentes (sim, ♣ é mais fraco que ◊).[nota 3] [6]

Akemann & Weaver[7] utilizaram ◊ para construir uma C*-algebra servindo como um contra-exemplo para o problema de Mark Aronovich Naimark.[nota 4]

Teoria dos conjuntos combinatória[editar | editar código-fonte]

Teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finita para conjuntos infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo de extensões do teorema de Ramsey tais como o teorema de Erdos-Rado.

Teoria descritiva dos conjuntos[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas

  1. Uma árvore Suslin é uma árvore de altura ω1 de tal forma que cada ramo e cada de anti-corrente é no máximo enumerável. (Uma anti-corrente é um conjunto de elementos tais que quaisquer dois são incomparáveis.). Toda árvore Suslin é uma árvore Aronszajn.
  2. conjunto estacionário ou fixo é um número cardinal de inúmeras co-finalidades ,  S \subseteq \kappa \,, and  S \, cruza com cada clube definido em  \kappa \,, e depois em w  S \,é chamado de "conjunto estacionário" a.
  3. S (naipe paus) é uma família de princípios combinatórios que são mais fracos versões do correspondente S (naipe ouro), que foi introduzida em 1975 por Ostaszewski.
  4. O problema de Naimark é uma questão em análise funcional. Ele pergunta se todos os C*-álgebra que tem apenas uma representação irredutível até uma equivalência unitária é isomorfo a álgebra de operadores compactos em algum espaço de Hilbert.

Referências

  1. HISTÓRIA DA FÍSICA E CIÊNCIAS AFINS SEÇÃO ESPECIAL: HOMENAGEM A KURT GÖDEL (1906-1978) por Sílvio R. Dahmen publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física - Rev. Bras. Ensino Fís. vol.28 no.4 São Paulo (2006) [[1]]
  2. Kurt Gödel: A sua influência na Informática (tal como a conhecemos)por Luís Caires, Universidade Nova de Lisboa (2006)[2]
  3. KURT GÖDEL Constructor de Universos por Miguel Monsalve G. & José Alexander Vargas M. (2009) [[3]]
  4. Assaf Rinot, Jensen's diamond principle and its relatives, online
  5. The failure of diamond on a reflecting stationary set por Moti Gitik e Assaf Rinot (2011) [[4]]
  6. A. J. Ostaszewski, Em contavelmente compactos espaço perfeitamente normal, Jornal da Sociedade Matemática de Londres, 1975 (2) 14, pp. 505-516.
  7. Akemann, Charles e Weaver, Nik - Consistency of a counterexample to Naimark's problem (2004) no jornal cientifico Proceedings of the National Academy of Sciences, no volume 101, revista 20, paginas 7522–7525
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