Teoremas espectrais

Os teoremas espectrais são fundamentais na álgebra linear, por garantirem a existência de uma base ortonormal de autovectores para alguns tipos de operadores. Isto implica que o operador seja diagonalizável, o que facilita bastante os cálculos.

Teorema espectral para operadores auto-adjuntos

Seja $T: V \rightarrow V$ um operador auto-adjunto e V um espaço vetorial complexo ou real de dimensão n. Então existe uma base ortonormal de V formada por autovectores de T.

Teorema espectral para operadores unitários

Seja $T: V \rightarrow V$ um operador unitário e V um espaço vetorial complexo de dimensão n. Então existe uma base ortonormal de V formada por autovectores de T.

Teorema espectral para operadores normais

Seja $T: V \rightarrow V$ um operador linear e V um espaço vetorial complexo de dimensão n. Então T é normal se, e somente se, existe uma base ortonormal de V formada por autovectores de T.

Teorema espectral para operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert

Seja $H\,$ um espaço de Hilbert separável e $T:H\to H\,$ um operador compacto auto-adjunto, então existe uma família ortonormal de autovetores $\{v_j\}_{j=1}^{\infty}\,$ com autovalores associados $\lambda_j\,$ tais que:

$Tx= \sum_{j=1}^{\infty}\lambda_j\lang x,v_j\rang v_j\,$

Ver também

• Medida espectral
• Decomposição em Valores Singulares