Operador compacto

Na análise funcional, operadores compactos formam uma família de operadores lineares limitados entre espaços de Banach. Grosseiramente falando, a compacidade é critério mais restritivo que a continuidade, suficiente para que certas propriedades dos operadores de posto finito sejam válidas. Em espaços de Hilbert, pode-se mostrar que, de fato, operadores compactos são limites (na norma operacional) de operadores de posto finito.

A importância do estudo destes operadores surgiu basicamente do desenvolvimento de uma teoria espectral para os mesmos e da validade de uma versão da alternativa de Fredholm, mostrando que o problema $\left(\lambda T +I\right)u=f\,$ se comporta como em dimensão finita.

Definição

Sejam $X\,$ e $Y\,$ espaços de Banach e $T:X\to Y\,$ um operador linear. $T\,$ é dito operador linear compacto se a imagem de conjuntos limitados em $X\,$ é conjunto pré-compacto em $Y\,$, ou seja, se:

$\overline{T(B)}\,$ é compacto, para todo $B\,$ limitado.

Equivalentemente, $T\,$ é compacto se para toda seqüência limitada $x_n\,$, existe uma subseqüência $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\subseteq \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $Tx_{n_k}\,$ é convergente.

Exemplo

Considere $X=C^{1}[0,1]\,$, o espaço das funções continuamente diferenciáveis no intervalo $[0,1]\,$ e $Y=C^{0}[0,1]\,$, o espaço das funções contínuas no mesmo intervalo; munidos das seguintes normas:

• $\|f\|_{X}=\sup_{[0,1]}|f(x)|+\sup_{[0,1]}|f'(x)|\,$
• $\|f\|_{Y}=\sup_{[0,1]}|f(x)|\,$

Considere, ainda, o operador linear $T\,$ como sendo a inclusão de $X\,$ em $Y\,$.

Se $f_n\,$ é uma seqüência limitada em $X\,$, então $f_n\,$ formam uma família equicontínua e equilimitada de funções definidas em um espaço compacto. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma seqüência $\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty},$ convergindo uniformemente para algum ponto limite. Como convergência uniforme é equivalente com convergência na norma do supremo, temos que a inclusão é um operador compacto.

Inclusão compacta

Seja $X\subseteq Y\,$ dois espaços de Banach, dizemos que $X\,$ está compactamente contido em $Y\,$ e escrevemos $X\subset\subset Y\,$ se a função inclusão $I:X\to Y\,$ é um operador compacto entre estes espaços.

Ver também

• Teorema de Hilbert-Schmidt