Operador compacto

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Na análise funcional, operadores compactos formam uma família de operadores lineares limitados entre espaços de Banach. Grosseiramente falando, a compacidade é critério mais restritivo que a continuidade, suficiente para que certas propriedades dos operadores de posto finito sejam válidas. Em espaços de Hilbert, pode-se mostrar que, de fato, operadores compactos são limites (na norma operacional) de operadores de posto finito.

A importância do estudo destes operadores surgiu basicamente do desenvolvimento de uma teoria espectral para os mesmos e da validade de uma versão da alternativa de Fredholm, mostrando que o problema \left(\lambda T +I\right)u=f\, se comporta como em dimensão finita.

Definição[editar | editar código-fonte]

Sejam X\, e Y\, espaços de Banach e T:X\to Y\, um operador linear. T\, é dito operador linear compacto se a imagem de conjuntos limitados em X\, é conjunto pré-compacto em Y\,, ou seja, se:

\overline{T(B)}\, é compacto, para todo B\, limitado.

Equivalentemente, T\, é compacto se para toda seqüência limitada x_n\,, existe uma subseqüência \{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\subseteq \{x_n\}_{n=1}^{\infty} tal que Tx_{n_k}\, é convergente.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere X=C^{1}[0,1]\,, o espaço das funções continuamente diferenciáveis no intervalo [0,1]\, e Y=C^{0}[0,1]\,, o espaço das funções contínuas no mesmo intervalo; munidos das seguintes normas:

  • \|f\|_{X}=\sup_{[0,1]}|f(x)|+\sup_{[0,1]}|f'(x)|\,
  • \|f\|_{Y}=\sup_{[0,1]}|f(x)|\,

Considere, ainda, o operador linear T\, como sendo a inclusão de X\, em Y\,.

Se f_n\, é uma seqüência limitada em X\,, então f_n\, formam uma família equicontínua e equilimitada de funções definidas em um espaço compacto. Pelo teorema de Arzelà-Ascoli, existe uma seqüência \{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}, convergindo uniformemente para algum ponto limite. Como convergência uniforme é equivalente com convergência na norma do supremo, temos que a inclusão é um operador compacto.

Inclusão compacta[editar | editar código-fonte]

Seja X\subseteq Y\, dois espaços de Banach, dizemos que X\, está compactamente contido em Y\, e escrevemos X\subset\subset Y\, se a função inclusão I:X\to Y\, é um operador compacto entre estes espaços.

Ver também[editar | editar código-fonte]