Teorema de Arzelà-Ascoli

Em matemática, o teorema de Arzelà-Ascoli é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais. Provém dos matemáticos italianos Cesare Arzelà e Giulio Ascoli.

Enunciado da versão real

Seja $\mathfrak{F}\,$ uma sequência de funções $f:[a,b]\to\mathbf{R}\,$ com as seguintes propriedades:

• Equicontinuidade, ou seja, para cada $\varepsilon>0\,$ e cada $x\,$ no domínio, existe um $\delta>0\,$ tal que $|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon, \forall f\in\mathfrak{F}\,$
• Equilimitação, ou seja, existe uma constante $C\,$ tal que $|f(x)|<C, \forall x\in[a,b], \forall f\in\mathfrak{F}\,$

Então existe uma subseqüência $f_n(x)\,$ e uma função contínua $f(x)\,$ tal que $f_n(x)\,$ converge uniformemente para $f(x)\,$.

De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

Considere uma sequencia de funções contínuas $(f_n(x))\,$ definidas em um intervalo fechado [a,b] dos reais. Se essa sequência é uniformemente limitada e equicontínua, então existe uma subsequencia que converge uniformemente.

Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.