Teorema de Arzelà-Ascoli

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Em matemática, o teorema de Arzelà-Ascoli é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais. Provém dos matemáticos italianos Cesare Arzelà e Giulio Ascoli.

Enunciado da versão real[editar | editar código-fonte]

Seja \mathfrak{F}\, uma sequência de funções f:[a,b]\to\mathbf{R}\, com as seguintes propriedades:

Então existe uma subseqüência f_n(x)\, e uma função contínua f(x)\, tal que f_n(x)\, converge uniformemente para f(x)\,.

De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

Considere uma sequencia de funções contínuas (f_n(x))\, definidas em um intervalo fechado [a,b] dos reais. Se essa sequência é uniformemente limitada e equicontínua, então existe uma subsequencia que converge uniformemente.

Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.

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