Topologia da ordem

A topologia da ordem é a topologia associada a uma relação de ordem em um conjunto.

Definição

Seja $(X,<)\,$ um conjunto ordenado, em que a relação de ordem não precisa ser de ordem total. Podemos associar 3 topologias a essa relação de ordem parcial, definidas por suas sub-bases:

• A topologia da ordem à esquerda, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma $(a,\infty )=\{x\in X|a<x\}\,$.
• A topologia da ordem à direita, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma $(-\infty ,b)=\{x\in X|x<b\}\,$.
• A topologia da ordem, em que a sub-base é formada pelos conjuntos $(a,\infty )=\{x\in X|a<x\}\,$ e $(-\infty ,b)=\{x\in X|x<b\}\,$.

Ordem Total

Se a relação é de ordem total, então a topologia da ordem é Hausdorff.

Prova: sejam $a,c\in X,\ a\leq c\,$. Considere os abertos $a\in (-\infty ,c)\,$ e $c\in (a,\infty )\,$. Se sua interseção for vazia, então provamos que a e c estão separados por abertos. Caso contrário, existe $b\in (a,\infty )\cap (-\infty ,c)\,$, portanto $a<b<c\,$. Então separamos a e c pelos abertos disjuntos $a\in (-\infty ,b)\,$ e $c\in (b,\infty )\,$.

Como contraexemplo, temos o conjunto {2, 3, 6} ordenado pela relação $a<b\,$ quando a for um divisor próprio de b. A sub-base da topologia da ordem contém os conjuntos $(2,\infty )=(3,\infty )=\{6\}\,$, $(6,\infty )=\varnothing \,$, $(-\infty ,2)=(-\infty ,3)=\varnothing \,$ e $(-\infty ,6)=\{2,3\}\,$, portanto a topologia da ordem é $\tau =\{\varnothing ,\{2,3\},\{6\},\{2,3,6\}\}\,$ que não é Hausdorff.