Topologia da ordem

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A topologia da ordem é a topologia associada a uma relação de ordem em um conjunto.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja (X, <)\, um conjunto ordenado, em que a relação de ordem não precisa ser de ordem total. Podemos associar 3 topologias a essa relação de ordem parcial, definidas por suas sub-bases:

  • A topologia da ordem à esquerda, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma (a, \infty) = \{ x \in X | a < x \}\,.
  • A topologia da ordem à direita, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma (-\infty, b) = \{ x \in X | x < b \}\,.
  • A topologia da ordem, em que a sub-base é formada pelos conjuntos (a, \infty) = \{ x \in X | a < x \}\, e (-\infty, b) = \{ x \in X | x < b \}\,.

Ordem Total[editar | editar código-fonte]

Se a relação é de ordem total, então a topologia da ordem é Hausdorff.

Prova: sejam a , c \in X, \ a \le c\,. Considere os abertos a \in (-\infty, c)\, e c \in (a, \infty)\,. Se sua interseção for vazia, então provamos que a e c estão separados por abertos. Caso contrário, existe b \in (a, \infty) \cap (-\infty, c)\,, portanto a < b < c\,. Então separamos a e c pelos abertos disjuntos a \in (-\infty, b)\, e c \in (b, \infty)\,.

Como contra-exemplo, temos o conjunto {2, 3, 6} ordenado pela relação a < b\, quando a for um divisor próprio de b. A sub-base da topologia da ordem contém os conjuntos (2, \infty) = (3, \infty) = \{6\}\,, (6, \infty) = \varnothing\,, (-\infty, 2) = (-\infty, 3) = \varnothing\, e (-\infty, 6) = \{2 , 3\}\,, portanto a topologia da ordem é \tau = \{ \varnothing, \{2 , 3\}, \{ 6 \}, \{2, 3, 6\} \}\, que não é Hausdorff.

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