Spline

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Spline de Bézier com nós (A, D) e pontos de controle (A, B, C, D)

Um spline é uma curva definida matematicamente por dois ou mais pontos de controle. Os pontos de controle que ficam na curva são chamados de nós. Os demais pontos definem a tangente à curva em seus respectivos nós. Por exemplo, a curva de Bézier definida pelos pontos (A, B, C e D) é delimitada pelos nós A e D e nesses nós, a curva é tangente ao vetores AB e DC respectivamente. Variando as posições dos pontos B e C, a curva apenas varia sua inclinação, mas continua passando pelos pontos A e D.

Os splines podem ser divididos em duas categorias:

  • Splines de interpolação que passam por todos os pontos de controle
  • Splines de aproximação que passam perto de todos os pontos de controle

Splines de aproximação[editar | editar código-fonte]

Usualmente, os splines de aproximação são curvas suaves, dado que as splines de interpolação podem ter "lombas" perto dos nós. Na imagem, a curva que passa através de A, B, C e D é um spline interpolador (especificamente, um spline linear) e a curva que passa através de A e D, mas não por B e C, é um spline de aproximação (especificamente, um spline Bézier).

Splines no mundo real[editar | editar código-fonte]

A simplicidade da representação e a facilidade dentro da forma complexa do spline pode ser computadas e fazer com que os splines sejam representações populares para curvas na ciência da computação e engenharia informática, predominantemente em computação gráfica, mas também para outros tipos de interpolação, tal como a suavização de áudio digital.

O termo spline vem de um dispositivo usado pelos construtores de navios para desenhar formas mais suaves.

Definição formal de Splines polinomiais[editar | editar código-fonte]

Uma função S é chamada de spline de grau k se:

  1. O domínio de S é um intervalo [a,b]
  2. Há nós (ti,yi) tal que a = t0 < t1 < ... < tn = b e tal que S é um polinómio de grau k em cada subintervalo [t_i, t_{i+1}].

No geral, a continuidade da função f em s pode ser definido pela condição:

\lim_{x \to s^+}f(x) = \lim_{x \to s^-}f(x) = f(s)

Interpolação de splines[editar | editar código-fonte]

A interpolação de splines inclui:

O algoritmo de Boor é um método efetivo para avaliar uma curva de splines interpoladores.