Coordenadas baricêntricas

As coordenadas baricêntricas definem uma forma de representação de um ponto no espaço em função de outros pontos, chamados pontos de controle, de modo que a soma das coordenadas baricêntricas deste ponto seja igual a um. Estas coordenadas são muito utilizadas em sistemas de informação gráfica para a representação de Curvas de Bézier.

Elas foram propostas por August Ferdinand Moebius em 1827, no seu livro The Barycentric Calculus.

Definição

$\color{Black}P = u P1 + v P2 + w P3$

$\color{Black}u + v + w = 1$

Em que $P$ representa um ponto no espaço, $P1$, $P2$ e $P3$ são os pontos de controle e $u$, $v$ e $w$ são os escalares que formam as coordenadas baricêntricas do ponto $P$.

Interpretação Geométrica

É possível interpretar as coordenadas baricêntricas como a representação de um ponto no interior de uma forma geométrica determinada por pontos de controle. No exemplo abaixo $P$ está no interior de um triângulo formado pelos pontos de controle $P1$ , $P2$ , $P3$.

$u = \frac{area(P P2 P3)}{area(P1 P2 P3)}$

$v = \frac{area(P1 P P3)}{area(P1 P2 P3)}$

$w = \frac{area(P1 P2 P)}{area(P1 P2 P3)}$

Deste modo podemos representar $P$ em coordenadas baricêntricas em relação a $P1$ , $P2$ e $P3$ pela forma:

$\color{Black}P = (u , v , w)$

Referências

• Síntese de Imagens: Uma Introdução ao Mundo de Desenho e Pintura dos Sistemas Digitais

Wu, Shin - Ting

• Processamento de Imagens Digitais, Rafael C. Gonzalez e Richard E. Woods