Movimento harmônico simples

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O movimento harmônico simples (MHS) é o movimento oscilatório ocorrido quando a aceleração e a força resultante são proporcionais e opõem ao deslocamento. É um tipo de frequência do movimento,onde oscila a massa.1 É explicável por um modelo matemático para alguns movimentos vibratórios observáveis em alguns fenômenos (pêndulo ou vibração molecular).2

Num modelo físico construído com molas, o movimento harmônico simples é observável em massas presas a uma mola ligada a um suporte rígido, como uma parede. Se o sistema está na posição de repouso, diz-se em equilíbrio estático.1 No entanto, se a massa é deslocada a partir da posição de equilíbrio, uma reposição do mesmo vai ser exercida pela mola, chamada de elasticidade, seguindo assim a Lei de Hooke.3

Matematicamente, a força resultante F é dada a partir de

 \mathbf{F}=-k\mathbf{x},

onde F é uma força elástica exercida por uma mola (no SI: Newton N, k na Lei de Hooke (N·m−1), e x que é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio (em m).1

Contudo ,para qualquer movimento harmônico simples, determina-se que quando o sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio, uma força restauradora que obedece à lei de Hooke tende a restaurar o sistema para esse equilíbrio.

Uma vez que a massa é deslocada da sua posição de equilíbrio, experimenta uma força resultante de restauração. Como resultado, ela acelera e começa a voltar à posição de equilíbrio.

O movimento harmônico simples mostra que no espaço real (real space) e no espaço fásico (phase space) a órbita é periódica (aqui a velocidade e a posição dos eixos foi revertida a partir da convenção padrão, a fim de alinhar os dois diagramas).

Quando a massa se ​​aproxima da posição de equilíbrio, a força restauradora diminui. Na posição de equilíbrio, a força resultante restaurada desaparece. No entanto, em x= 0, a força da massa não desaparece devido ao impulso da força restauradora que agiu sobre ele. Portanto, a massa continua além da posição de equilíbrio, comprimindo a mola. Então, a força resultante restaurada tende a desacelerar, até a sua velocidade desaparecer, tentando chegar novamente à posição de equilíbrio

Dinâmica do movimento harmônico simples[editar | editar código-fonte]

A posição, a velocidade e a aceleração de uma oscilação harmônico

Para o movimento harmônico simples unidimensional, a equação dos movimentos, é aplicada a segunda lei linear com uma equação diferencial ordinária com seus coeficientes constantes, a partir da segunda lei de Newton e da lei de Hooke.

 F_{net} = m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx,

onde m é a massa inercial com a oscilação do corpo, x é o vetor de deslocamento para o equilíbrio estático e k é a equação da mola.

Onde:  \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\left(\frac{k}{m}\right)x,

Resolvendo abaixo a equação diferencial, uma solução onde obtêm um senoide:

A posição, a velocidade e a aceleração do movimento harmônico simples e as suas fases

 x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right), onde

 \omega = \sqrt{\frac{k}{m}},
 A = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2},
 \tan \varphi = \left(\frac{c_2}{c_1}\right),

Na solução, c1 e c2 são duas constantes determinadas nas condições iniciais, e a sua origem está levando a uma posição de equilíbrio. Cada uma estas constantes leva a um padrão físico ao movimento: A é a amplitude (deslocamento máximo da posição de equilíbrio) , ω = 2πf é a sua frequência angular, e φ é uma fase.

Usando as técnicas do cálculo diferencial, a velocidade e a aceleração tem uma função de tempo pode ser:

 v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sen(\omega t-\varphi),
 a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi).

A aceleração pode ser expressado pela função de deslocamento:

 a(x) = -\omega^2 x.\!

Já que ω = 2πf,

f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},

e que T = 1/f onde T é o período de tempo,

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Estas equações demonstram que o movimento simples harmônico é isocronômetro (o período e a frequência são independentes da amplitude e da fase inicial do movimento).

Energia do movimento harmônico simples[editar | editar código-fonte]

A energia cinética K de um sistema em função do do tempo t é:

 K(t) = \frac{1}{2} mv^2(t) = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \frac{1}{2}kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi),

e a energia potencial é:

U(t) = \frac{1}{2} k x^2(t) = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t - \varphi).

A adição entre a energia cinética e potencial no cálculo da energia mecânica é medida por:

E = K + U = \frac{1}{2} k A^2..4

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Abaixo tem alguns exemplos de sistemas que usam o movimento harmônico simples:

Massa na mola[editar | editar código-fonte]

Um sistema de massa-mola não-amortecida passa por um movimento harmônico simples.

Uma massa m equilibrada com uma mola constante k mostra o movimento harmônico simples no espaço. A equação é : T= 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} que apresenta que o período de oscilação é independente tanto da amplitude e a aceleração gravitacional.

Para podermos provar essa equação é necessário analisarmos o sistema em sua posição de equilíbrio e em sua amplitude máxima. Em sua posição de equilíbrio concluímos que :kx' = mg, onde x' é a deformação da mola em relação a sua posição natural e g é a gravidade.

E analisando o sistema em sua deformidade máxima, concluímos que a força resultante é derivada da diferença entre a força elástica da mola, em sua nova posição x", assim o deslocamento total da mola é igual à x'+x", e a força gravitacional. E também podemos comparar esse movimento à um movimento circular, onde a força resultante é a resultante centrípeta :Rc = \frac{mv^2}{r}, onde v seria a velocidade de um móvel percorrendo essa trajetória, e r seria o raio da circunferência, que nesse caso será igual ao deslocamento da posição de equilíbrio até a amplitude máxima, ou seja, x".

Igualando a resultante centrípeta à força resultante atuante na massa presa à mola, temos:

\frac{mv^2}{x''} = k(x'+x'')-mg

\frac{mv^2}{x''} = kx'+kx''-mg

Como kx' é igual à mg:

\frac{mv^2}{x''} = kx''

E sabendo que velocidade é a razão entre o deslocamento, que seria o valor da circunferência, 2πr, ou seja, 2πx", e o tempo, que seria o período para descrever todo o movimento. Entao:

v^2 = \frac{4\pi^2x''^2}{T^2}

Substituindo:

\frac{m4\pi^2x''^2}{T^2x''} = kx''

\frac{1}{T^2}=\frac{k}{m4\pi^2}

T^2=\frac{m4\pi^2}{k}

T=\sqrt{\frac{m4\pi^2}{k}}

T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Movimento circular uniforme[editar | editar código-fonte]

O movimento harmônico simples pode ser muitas vezes considerado de uma dimensão (unidimensional) de uma projeção matemática do movimento circular uniforme. Se um objeto move com uma velocidade angular ω ao redor de um círuclo de um raio r centralizado de uma origem de um plano de x-y, este movimento é em cada coordenada um movimento simples harmônico com uma amplitude r e uma frequência angular ω.

Massa de um pêndulo[editar | editar código-fonte]

O movimento de um pêndulo não-amortecida aproxima para o movimento simples harmônico se a amplitude é muito pequena relativo do comprimento L da haste.

Na aproximação para ângulos pequenos, o movimento de um simples pêndulo é aproximado por um movimento simples harmônico. O período da massa ligado a uma cadeia de comprimento ℓ com a aceleração da gravidade g é dada por:

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

Inicialmente, para deduzir a equação do período, é necessário estabelecer que o ângulo θ descrito pelo pêndulo de sua posição de repouso até sua amplitude máxima seja menor que 10°, assim podemos aproximar o valor do ângulo com seu seno.

Então, vamos analisar o movimento em sua posição de amplitude máxima, onde atuam duas forças na massa presa ao pêndulo, a tensão ψ na corda e seu peso mg, onde g é a gravidade.

Mhs2.png

A força de reconstituição será igual à mgsen(θ), e como sen(θ) pode ser aproximado ao valor de θ, ou seja, x/L, onde x é o deslocamento da massa e L é o comprimento do pêndulo5 .Então:

 F = -mgsen(\theta) O sinal negativo representa que a força é uma força de restauração

 F = -mg\theta

 F = -mg\frac{x}{L}

 F = - (\frac{mg}{L})x

Considerando a formula a cima podemos compara-lá à Lei de Hooke, sendo que um pêndulo simples é equivalente a um oscilador linear, portanto, a constante k de reconstituição seria igual à mg/L

Substituindo o valor de k na fórmula do período de um movimento harmônio simples:

 T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

 T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/L}}

 T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

Referências

  1. a b c Física para cientistas e engenheiros,Editora Ltc, Edição 6, 2009, Paul Tipler e Gene Mosca, página 466,ISBN 978-85-216-1710-5
  2. Walker, Jearl (2011). Principles of physics (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley. ISBN 0-470-56158-0.
  3. Física para cientistas e engenheiros, Editora Ltc, Edição 6, Paul Tipler e Gene Mosca, página 114,ISBN 978-85-216-1710-5
  4. Jain 2009, p. 12
  5. HALLIDAY, David. Adir Moysés Luiz et al. Fundamentos de Física 2: Gravitação, ondas e termodinâmica. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 1991