Espalhamento de Rutherford

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Em física, o espalhamento de Rutherford é um fenômeno que foi explicado por Ernest Rutherford em 1911[1] , que levou ao desenvolvimento do modelo atômico de Rutherford (modelo planetário) do átomo e, posteriormente, o modelo atômico de Bohr. Atualmente a técnica é explorada pela técnica de análise de materiais chamada de retroespalhamento de Rutherford. O espalhamento de Rutherford é também às vezes referido como espalhamento de Coulomb, pois conta apenas com forças eletrostáticas (lei de Coulomb), e a distância mínima entre as partículas é definida somente pelo potencial eletrostático. O espalhamento de Rutherford clássico de partículas alfa por núcleos de ouro é um exemplo de "espalhamento elástico", porque a energia e a velocidade das partículas espalhadas se conservam ao longo do movimento.

Mais tarde, Rutherford também analisou o espalhamento inelástico ao bombardear partículas alfa contra núcleos de hidrogênio (prótons). Este último processo não é o espalhamento de Rutherford clássico, embora tenha sido observado pela primeira vez por ele. Ao final desses processos, as forças não-coulombianas entram em jogo. Tais forças, bem como a energia adquirida a partir do espalhamento pelas partículas-alvo mais leves, alteram os resultados de espalhamento de maneira fundamental, o que sugerem informações estruturais sobre o alvo em questão. Na década de 60, um processo semelhante permitiu uma análise do interior do núcleo, e é chamado de espalhamento inelástico profundo.

A descoberta inicial foi feita por Hans Geiger e Ernest Marsden em 1909, ao realizarem o experimento da folha de ouro sob a supervisão de Rutherford. Eles dispararam um feixe de partículas alfa (núcleos de hélio) contra camadas de folhas de ouro com apenas alguns átomos de espessura. Na época do experimento, o átomo era considerado análogo a um “pudim de ameixas” (tal como proposto por J. J. Thomson), com a carga negativa (as ameixas) distribuídas uniformemente numa esfera positiva (o pudim). Se o modelo do pudim de ameixas estivesse correto, o "pudim" positivo, sendo mais espalhador que o atual modelo de um núcleo concentrado, não seria capaz de exercer uma força coulombiana intensa, e as partículas alfa seriam apenas desviadas em pequenos ângulos ao atravessarem o alvo.

No entanto, os resultados intrigantes mostraram que cerca de 1 em 8000 partículas alfa eram desviadas em ângulos muito grandes (acima de 90°), enquanto o restante não sofria desvio, com pouca ou nenhuma deflexão. A partir desses resultados, Rutherford concluiu que a maior parte da massa do alvo estava concentrada em uma minúscula região positivamente carregada (o núcleo), circundada por elétrons. Quando uma partícula alfa (positiva) se aproxima suficientemente do núcleo, ela é repelida com força suficiente para ricochetear sob ângulos elevados. A pequena dimensão do núcleo explica o pequeno número de partículas alfa que eram repelidas desta forma. Rutherford demonstrou, usando o método abaixo, que o tamanho do núcleo era inferior a cerca de 10−14 m (para valores menores, Rutherford não poderia contar apenas com os resultados desta experiência; veja mais abaixo sobre o problema do menor tamanho possível

Espalhamento de Rutherford

Seção de choque diferencial[editar | editar código-fonte]

Espalhamento repulsivo por uma partícula puntiforme

Tal como deduzida por Rutherford, a seção de choque diferencial é

\frac{d \sigma}{d \Omega} = \left(\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 mv_0^2} \right)^2 \frac{1}{\sin^4 (\theta / 2)}.

Todas as partículas que atravessam o anel à esquerda aparecem em algum lugar à direita.

Dedução[editar | editar código-fonte]

A seção de choque diferencial pode ser deduzida a partir das equações de movimento para uma partícula sobre um potencial central. Em geral, as equações de movimento que descrevem duas partículas sob a ação de uma força central podem ser decompostas como o movimento do centro de massa e o movimento de uma partícula em relação à outra. Para o caso do espalhamento de um feixe de partículas alfa por núcleos pesados, como no experimento realizado por Rutherford, a massa reduzida é essencialmente a massa da partícula alfa e a do núcleo espalhador, que está essencialmente fixo no referencial do laboratório.

Substituindo-as na equação de Binet, obtemos a equação de trajetória

\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=-\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}mv_{0}^{2}b^{2}}=-\kappa,

Onde u={1 \over r}, v_0 é a velocidade no infinito e b o parâmetro de impacto.

A solução geral da equação diferencial acima é

u=u_{0}\cos(\theta-\theta_{0})-\kappa,

E as condições de fronteira são

u\to 0 \quad r\sin\theta\to b \quad(\theta\to\pi).

Podemos encontrar que

\theta_{0}=\frac{\pi}{2}+\arctan b\kappa.

O ângulo de espalhamento Θ pode ser visto na figura ou então resolvendo-se a equação acima para u\to 0 , já que

\Theta=2\theta_{0}-\pi=2\arctan b\kappa=2\arctan\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}mv_{0}^{2}b}.

b pode ser encontrado diretamente:

b=\frac{Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}mv_{0}^{2}}\cot\frac{\Theta}{2}.

Para encontrar a seção de choque de espalhamento desse resultado, considere a sua definição

{\sigma(\Omega) d \Omega}={\hbox{número de partículas espalhadas no ângulo sólido d} \Omega \hbox{ por unidade de tempo} \over \hbox{intensidade incidente}}

Uma vez que o ângulo de espalhamento é unicamente determinado para  E e  b dados, o número de partículas alfa em um ângulo entre \Theta e \Theta+d\Theta deve ser o mesmo que o número de partículas com parâmetro de impacto entre b e b+db. Para uma intensidade incidente  I , isto implica a seguinte igualdade:

2\pi I b \left|db\right| = I \sigma d\Omega

Para um potencial radialmente simétrico, como no caso do potencial coulombiano,  d\Omega = 2\pi\sin{\Theta}d\Theta, o que leva à expressão para a seção de choque de espalhamento:

 \sigma = \frac{b}{\sin{\Theta}} \left|\frac{db}{d\Theta}\right|

Por fim, substituindo na expressão anterior para o parâmetro de impacto  b(\Theta) , encontramos a seção de choque de espalhamento de Rutherford:

 \sigma =\left(\frac{ Z_1 Z_2 e^2}{8\pi\epsilon_0 m v_0^2}\right)^2 \csc^4{\left(\frac{\Theta}{2}\right)}.

Cálculo do tamanho nuclear máximo[editar | editar código-fonte]

Para colisões frontais entre uma partícula alfa e o núcleo, toda a energia cinética da partícula alfa é transformada em energia potencial, e a velocidade da partícula se anula. Neste instante, a distância do centro da partícula alfa para o centro do núcleo (b) é então um valor máximo para o raio do núcleo, se for evidente da experiência que as partículas não atingem o núcleo.

Aplicando a lei do quadrado inverso das distâncias entre as cargas do elétron e do núcleo, pode-se escrever que

\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{b}

Rearrumando os termos,

b = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{2 q_1 q_2}{mv^2}

Para a partícula alfa:

  • m (massa) = 6,7×10−27 kg
  • q1 = 2×(1,6×10−19) C
  • q2 (para o ouro) = 79×(1.6×10−19) C
  • v (velocidade inicial) = 2×107 m/s

Substituindo, temos o valor de cerca de 2,7×10−14 m (o raio real é aproximadamente 7,3×10−15 m). O raio real do núcleo não vem a si nestas experiências, porque as partículas alfa não têm energia suficiente para penetrar por mais de 27 fm do centro nuclear, como foi observado, enquanto que raio real do núcleo de ouro é de 7,3 fm. Rutherford percebeu isso, e também notou que uma colisão entre as partículas alfa com o ouro causada por um desvio qualquer na força de potencial 1/r mudaria a forma da curva de espalhamento para ângulos de espalhamento grandes (parâmetros de impacto menores), desde uma hipérbole ou mais. Este fato não foi observado, indicando que o ouro não havia sido "atingido", de modo que Rutherford sabia apenas que o núcleo de ouro (ou a soma dos raios do núcleo do ouro e da partícula alfa) era menor do que 27 fm (2,7×10−14 m)

Outras aplicações[editar | editar código-fonte]

O princípio do espalhamento é rotineiramente utilizado na espectroscopia de retroespalhamento de Rutherford (RBS) para a detecção de elementos pesados com números atômicos menores, como, por exemplo, em impurezas de metais pesados em semicondutores. Na verdade, esta também foi a primeira técnica local de análise aplicada na Lua, uma vez que um instrumento de análise do espalhamento alfa na superfície estava operando pouco antes de a missão espacial Surveyor 4 chocar-se com a superfície lunar. O mesmo tipo de instrumento pousou na Lua durante um período mais longo, para a aquisição de dados nas missões Surveyors 5 a 7.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. E. Rutherford , "The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom",Philos. Mag., vol 6, pp.21, 1911

Livros-texto[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]