Pêndulo de Foucault

 Nota: Se procura o livro de Umberto Eco, veja O Pêndulo de Foucault (livro).

Pêndulo de Foucault em Filadélfia (Franklin Institute)

Um pêndulo de Foucault (pronunciado "fu-cô"), assim chamado em referência ao físico francês Jean Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida para demonstrar a rotação da Terra em relação a um referencial, bem como a existência da força de Coriolis. A primeira demonstração data de 1851, quando um pêndulo foi fixado ao teto do Panthéon de Paris. A originalidade do pêndulo reside no fato de ter liberdade de oscilação em qualquer direção, ou seja, o plano pendular não é fixo. A rotação do plano pendular é devida (e prova) a rotação da Terra. A velocidade e a direção de rotação do plano pendular permitem igualmente determinar a latitude do local da experiência sem nenhuma observação astronômica exterior.

Princípio

Animação do Pêndulo de Foucault exibindo o sentido de rotação no hemisfério sul.

Se considerar um ponto centrado ao nível do ponto de fixação do pêndulo (o teto do Panthéon, por exemplo), o pêndulo oscila sempre no mesmo plano (em relação a esse ponto); no entanto, a Terra gira em torno dele (o que é previsto pelas leis de Newton, e intuitivo se nos imaginarmos em um pólo). Em um referencial mais habitual, o da Terra, é então o pêndulo que vai sofrer uma rotação.

O pêndulo deve ser idealmente colocado em um dos pólos da Terra. Seu período de rotação do plano pendular é inversamente proporcional ao seno da latitude do local.

Por exemplo :

• 1 dia sideral nos pólos;
• 1,4 dias a $45^{o}$ de latitude;
• 2 dias a $30^{o}$ de latitude;
• infinito (ou seja o plano pendular permanece constante) com $0^{o}$ de latitude, no equador.

Um pouco de matemática

Para simplificar, suporemos a amplitude das oscilações suficientemente pequenas para admitir que a massa oscilante do pêndulo se desloca horizontalmente. Notemos Oxy este plano horizontal, com O posição da massa em repouso, Ox eixo horizontal dirigido para o leste (logo tangente ao paralelo), e Oy dirigido para o norte (logo tangente ao meridiano). O terceiro eixo Oz será vertical, dirigido para cima.lp

Caso do pêndulo simples

Sem se levar em conta a rotação da Terra, as equações do movimento são as do pêndulo simples, ou seja:

$\left \{ \begin{matrix} x'' = - \omega^2 x\\ y''= - \omega^2 y \end{matrix} \right.$

onde ω é a oscilação própria do pêndulo simples, ou seja:

$\omega = \sqrt{g/l}$

onde g é a aceleração da gravidade e l o comprimento do pêndulo. A título de exemplo, se no instante t = 0 o pêndulo passa em O com uma velocidade V₀ segundo o eixo Ox, então a solução deste sistema é:

$\left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega} \sin(\omega t) \\ y = &0 \end{matrix} \right.$

Caso do pêndulo de Foucault

Com a rotação da Terra, deve-se levar em conta a aceleração de Coriolis

$2 \Omega (\vec{v} \times \vec{k})$

onde $\vec{v}$ é a velocidade do pêndulo, $\vec{k}$ é o vetor unitário no eixo de rotação terrestre e Ω a velocidade de rotação angular da Terra (ou seja, uma volta em um dia sideral). Essa velocidade de rotação Ω é muito menor que a oscilação própria ω do pêndulo.

Se nos encontramos à latitude θ, então o vetor $\Omega \vec{k}$ tem como componentes no referencial Oxyz

$\begin{pmatrix} 0\\ \Omega \cos{\theta} \\ \Omega \sin{\theta} \end{pmatrix}$

$\vec{v}$ tem como componentes

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 0 \end{pmatrix}$,

de modo que a aceleração de Coriolis terá os componentes

$\begin{pmatrix} 2y' \Omega \sin{\theta}\\ - 2x' \Omega \sin{\theta} \\ 2x' \Omega \cos{\theta} \end{pmatrix}$.

As equações de movimento no plano Oxy tornam-se:

$\left\{\begin{matrix} x'' = - \omega^2 x + 2y' \Omega\sin{\theta}\\ y'' = - \omega^2 y - 2x' \Omega \sin{\theta}\end{matrix}\right.$

Se se supõe ainda que no instante t = 0 o pêndulo passe em O com a velocidade V₀ no eixo Ox, então pode-se verificar que as soluções x e y do sistema diferencial são tais que:

$\left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ y = &- {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{matrix} \right.$

com

$\omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \Omega^2 \sin^2(\theta)}$

Pode-se escrever que:

$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}$

Interpretação e comparação

A quantidade ${V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t)$ exprime o fato que o pêndulo de Foucault oscila com uma pulsação própria ω₀ ligeiramente diferente daquela do pêndulo simples, mas como Ω é muito pequeno em comparação com ω, a diferença entre ω e ω₀ é muito pequena.

Mais notável, a oscilação se dá segundo a direção

$\begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}$

que roda lentamente segundo a pulsação

$\Omega \sin(\theta)$

Ver também

• O pêndulo de Foucault foi uma das inspirações para o romance homônimo "O Pêndulo de Foucault" de Umberto Eco.
• Jean Bernard Léon Foucault

Ligações externas

• Demonstração animada do pêndulo de Foucault
• O pêndulo de Foucault do Panthéon
• Como construir seu próprio pêndulo (francês)