Critério de estabilidade de Jury

No processamento de sinais e teoria de controle, o critério de estabilidade de Jury é um método para determinar a estabilidade de um sistema de tempo discreto linear por meio da análise dos coeficientes de seu polinômio característico . É o análogo de tempo discreto do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz . O critério de estabilidade de Júri requer que os polos do sistema estejam localizados dentro do círculo unitário centrado na origem, enquanto o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz requer que os polos estejam na metade esquerda do plano complexo. O critério de júri tem o nome de Eliahu Ibraham Jury.

Método

Se o polinômio característico do sistema é dado por

$f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\cdots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}$

então a tabela é construída da seguinte maneira:

linha	z n	z n-1	z n-2	z . . . .	z 1	z 0
1	a 0	a 1	a 2	. . .	a n-1	a n
2	a n	a n-1	a n-2	. . .	a 1	a 0
3	b 0	b 1	. . .	b n-2	b n-1
4	b n-1	b n-2	. . .	b 1	b 0
5	c 0	c 1	. . .	c n-2
6	c n-2	c n-3	. . .	c 0
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
2n-5	p 0	p 1	p 2	p3
2n-4	p 3	p 2	p 1	p0
2n-3	q 2	q 1	q 0

Ou seja, a primeira linha é construída a partir dos coeficientes polinomiais seguindo a mesma ordem do polinômio, e a segunda linha é a primeira linha em ordem reversa e conjugada.

A terceira linha da tabela é calculada subtraindo ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ vezes a segunda linha da primeira linha e a quarta linha é a terceira linha com os primeiros n elementos invertidos (já que o elemento final é zero).

${\begin{aligned}a_{0}\;\;&a_{1}\;\;&\dots \;\;&a_{n-1}\;\;&a_{n}\\a_{n}\;\;&a_{n-1}\;\;&\dots \;\;&a_{1}\;\;&a_{0}\\\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\end{aligned}}$

A expansão da tabela é continuada dessa maneira até que uma linha contendo apenas um elemento diferente de zero seja alcançada.

Note o ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ é $a_{n}$ para as primeiras duas filas. Então, para a 3ª e 4ª linhas, o coeficiente muda (ou seja, ${\frac {b_{n-1}}{b_{0}}}$ ) Isso pode ser visto como o novo polinômio que tem um grau a menos e continua.

Teste de estabilidade

E se ${a_{0}}>0$ então, para cada valor de ${a_{0}}$, ${b_{0}}$, ${c_{0}}$ ... isto é negativo, o polinômio tem uma raiz fora do disco da unidade. O que indica que o sistema é instável o método pode ser interrompido após o primeiro valor negativo ser encontrado durante a verificação de estabilidade.

Implementação de amostra

Esse método é muito fácil de implementar usando matrizes dinâmicas em um computador. Também informa se todos os módulos das raízes (complexos e reais) estão dentro do disco unitário. O vetor v contém os coeficientes reais do polinômio original na ordem do grau mais alto para o grau mais baixo.

        /* vvd is the jury array */
        vvd.push_back(v); // Store the first row
        reverse(v.begin(),v.end());
        vvd.push_back(v); // Store the second row

        for (i=2;;i+=2)
        {
            v.clear();
            double mult = vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article.

            for (j=0; j<vvd[i-2].size()-1; j++) // Take the last 2 rows and compute the next row
                   v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j] * mult);

            vvd.push_back(v);
            reverse(v.begin(), v.end()); // reverse the next row
            vvd.push_back(v);
            if (v.size() == 1) break;
         }

         // Check is done using
         for (i=0; i<vvd.size(); i+=2)
         {
              if (vvd[i][0]<=0) break;
         }

         if (i == vvd.size())
              "All roots lie inside unit disc "
         else
              "no"

Ver também

• Critério de Liénard-Chipart, outro critério de estabilidade derivado de Routh-Hurwitz (para sistemas de tempo contínuo)

Referências

Para mais detalhes, verifique estas referências:

• Uma nota sobre o critério de Schur-Cohn reduzido
• Wikilivros em Sistemas de Controle - Teste do Júri

• Arquivado em agosto 2, 2008, no Wayback Machine
• Benidir, M. (1996). «On the root distribution of general polynomials with respect to the unit circle». Signal Processing. 53. 75 páginas. doi:10.1016/0165-1684(96)00077-1 
• http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz

Para implementações:

• http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html (TI-83 + / 84 + calculadoras gráficas)