Desigualdade do valor médio

A desigualdade do valor médio é um importante resultado da Análise Vetorial, pois dele seguem resultados muito relevantes, como, e.g., continuidade e diferenciabilidade de funções vetoriais, o Teorema de Schwarz, diferenciabilidade uniforme de funções de classe $C^{1}$, fornecendo uma estimativa para a distância entre os valores das imagens de dois pontos em seu domínio.

Enunciado

Seja $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}$ uma função contínua definida em um aberto, $U$ de $\mathbb {R} ^{n}$. Sejam $a\in U$ e $h\in \mathbb {R} ^{n}$ tal que $a+h\in U$. Denotem-se por:

$[a,a+h]=\{a+th,t\in [0,1]\}$

$(a,a+h)=\{a+th,t\in (0,1)\}$

Se:

$f$ é contínua em $[a,a+h]\subset U$

$f$ é diferenciável em $(a,a+h)\subset U$

então vale:

$\Vert f(a+h)-f(a)\Vert \leq \Vert h\Vert \sup _{t\in [0,1]}\{\Vert f'(a+th)\Vert \}$

Prova

Considere a função auxiliar $\Phi (t)=f(a+th)$. Basta mostrarmos que:

$\Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert \leq M=\sup\{\Vert \phi '(t)\Vert ,t\in [0,1]\}$

Mostraremos que

$\Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert \leq M+\varepsilon \,\,\,\forall \varepsilon >0$

Com efeito, considere o conjunto:

$X=\{t\in [0,1],\Vert \phi (s)-\phi (0)\Vert \leq (M+\varepsilon )s\,\,\forall s\in [0,t]\}$

É fácil ver que $X\neq \varnothing$, pois obviamente $0\in X$

Ademais, $X$ é um intervalo, pois dado $t\in X$, para qualquer $0\leq z<t$ temos que: $z\in \{t\in [0,1],\Vert \phi (s)-\phi (0)\Vert \leq (M+\varepsilon )s\,\,\forall s\in [0,z]\subset [0,t]\}$ ou seja, $z\in X$

Ademais, pela continuidade de $\phi$ pode-se verificar que $X$ é fechado, i.e., que $\sup X\in X$

Afirmamos que $\sup X=1$. Com efeito, suponha, ab absurdo que $\alpha =\sup X<1$. Então, para qualquer $\varepsilon >0$ dado acima existe um $0<\delta$ tal que $\alpha +\delta <1$. Ademais, como $\phi$ é diferenciável em $[a,h)$, segue que tomando $0<\sigma <\delta$ suficientemente pequeno, vale:

$\phi (\alpha +\sigma )=\phi (\alpha )+\phi '(\alpha )\cdot \sigma +r(\sigma )$

com

$\Vert r(\sigma )\Vert <\varepsilon \sigma$

$\Vert \phi (\alpha +\sigma )-\phi (\alpha )\Vert \leq \Vert \phi '(\alpha )\Vert \sigma +\varepsilon \sigma$ Como supusemos $\alpha \in X$, também temos:

$\Vert \phi (\alpha )-\phi (0)\Vert <(M+\varepsilon )\sigma$

Assim, tem-se que

$\Vert \phi (\alpha +\sigma )-\phi (0)\Vert =\Vert \phi (\alpha +\sigma )-\phi (\alpha )+\phi (\alpha )-\phi (0)\Vert \leq \Vert \phi (\alpha +\sigma )-\phi (\alpha )\Vert +\Vert \phi (\alpha )-\phi (0)\Vert <(M+\varepsilon )(\alpha +\sigma )$

de modo que $\alpha +\sigma \in X$, o que é absurdo, pois $\alpha =\sup X$. Logo, $\alpha =1$, e vale a desigualdade:

$\Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert \leq (M+\varepsilon )1$

Assim,

$\Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert \leq M$

e vale que:

$\Vert \phi (1)-\phi (0)\Vert =\Vert f(a+h)-f(a)\Vert \leq \Vert h\Vert \{\Vert \phi '(t)\Vert ,t\in [0,1]\}=\Vert h\Vert \sup\{\Vert f'(a+th)\Vert |0\leq t<1\}$ Q.E.D.

Referências

• Elon Lages Lima - Análise no R^N, ISBN 8524401893