Programa Langlands

O programa Langlands é uma teia de conjecturas de longo alcance e influentes que se relacionam com os grupos de Galois na teoria dos números algébricos para formas automórficas e teoria da representação de grupos algébricos mais campos locais e adeles. Foi proposto por Robert Langlands(1967-1970)

Antecedentes

Em um contexto muito amplo, o programa construiu em idéias existentes: a filosofia de cúspide forma formulada alguns anos antes por Harish-Chandra e Gelfand (1963), o trabalho e a abordagem de Harish-Chandra em grupos de Lie semisimples , e em termos técnicos a fórmula de rastreio de Selberg e outros. O que inicialmente era muito novo no trabalho Langlands ', além de profundidade técnica, foi a conexão proposta direta à teoria dos números, juntamente com a estrutura organizacional rica hipótese (functoriality chamado). Por exemplo, na obra de Harish-Chandra encontra-se no princípio de que o que pode ser feito por uma semisimples (ou redutora) grupo de Lie , deve ser feita para todos. Por conseguinte, uma vez o papel de alguns grupos de baixa dimensão de Lie como GL (2), na teoria das formas modulares tinha sido reconhecida, e em retrospectiva GL (1) na teoria do campo de classe , o modo foi aberto, pelo menos, à especulação sobre GL ( n) para geral n> 2. A idéia formulário cúspide saiu das cúspides em curvas modulares , mas também tinha um significado visível em teoria espectral como " espectro discreto ", em contraste com o "espectro contínuo" da série de Eisenstein . Torna-se muito mais técnico para maiores grupos de Lie, porque os subgrupos parabólicos são mais numerosos. Em todas essas abordagens não havia escassez de métodos técnicos, muitas vezes indutivos na natureza e com base em decomposições Levi , entre outros assuntos, mas o campo era e é muito exigente. [ carece de fontes? ] E, do lado das formas modulares, existiam exemplos como formas modulares de Hilbert , formas modulares de Siegel, e série teta.

Objetos

Há uma série de conjecturas relacionadas Langlands. Há muitos grupos diferentes ao longo de muitos campos diferentes para que eles podem ser declarados, e para cada campo existem várias versões diferentes das conjecturas. [ carece de fontes? ] Algumas versões [ qual? ​​] dos Langlands conjecturas são vagos, ou dependem de objetos tais como os grupos Langlands , cuja existência não provada em, ou no grupo L-que tem várias definições não equivalentes. Além disso, as conjecturas Langlands evoluíram desde Langlands primeiro afirmou-los em 1967. Existem diferentes tipos de objetos para os quais as conjecturas Langlands podem ser indicados:

• Representações de grupos redutores mais campos locais (com subcasos diferentes, correspondentes a campos locais de arquimedes, campos p-adicos locais, e conclusões de campos de função)
• Formas automórficas em grupos redutivas mais campos globais (com subcasos correspondentes aos campos de número ou campos de função).
• Campos finitos. Langlands originalmente não considerar este caso, mas suas conjecturas tem análogos para ele.
• Campos mais gerais, tais como campos de função sobre os números complexos.