Função teta de Ramanujan

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Em matemática, a função teta de Ramanujan generaliza a forma das funções tetas de Jacobi, enquanto mantém suas propriedades gerais. Em particular, o produto triplo de Jacobi toma uma forma particularmente elegante quando escrita na forma da teta de Ramanujan. A função recebe esse nome em referência a Srinivasa Ramanujan; esta foi sua última grande contribuição para a matemática.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função teta de Ramanujan é definida como

f(a,b) = \sum_{n=-\infty}^\infty 
a^{n(n+1)/2} \; b^{n(n-1)/2}

para |ab|<1. A identidade do produto triplo de Jacobi toma a forma

f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty

Aqui, a expressão (a;q)_n denota o símbolo q-Pochhammer. Identidades que seguem dela incluem

f(q,q) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2} = 
\frac {(-q;q^2)_\infty (q^2;q^2)_\infty}
{(-q^2;q^2)_\infty (q; q^2)_\infty}

e

f(q,q^3) = \sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)/2} = 
\frac {(q^2;q^2)_\infty}{(q; q^2)_\infty}

e

f(-q,-q^2) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2} = 
(q;q)_\infty

esta última sendo a função de Euler, que está intimamente relacionada com a função eta de Dedekind.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
  • George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.