Ângulo inscrito

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Em geometria, um ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo (ou, em casos extremos, quando uma reta secante e uma reta tangente do círculo) intersectam o círculo por um ponto comum.

Tipicamente, é mais fácil pensar em um ângulo inscrito como definido por duas cordas do círculo dividindo um ponto.

As propriedades básicas dos ângulos inscritos são discutidas nas proposições 20-22 do livro 4 dos Elementos de Euclides. Essas proposições garantem que o ângulo inscrito tem a metade da medida do ângulo central correspondente, que ângulos inscritos em um mesmo arco de uma corda são iguais e que a soma dos dois ângulos inscritos distintos correspondentes a uma determinada corda é 180°.

Medida do ângulo inscrito[editar | editar código-fonte]

Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é medida da medida do arco correspondente.

Assim, seja o ângulo inscrito de medida e o ângulo central correspondente de medida .

Têm-se:

ou

[1]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar essa propriedade é preciso considerar 3 casos:

  1. está num lado do ângulo.
  2. é interno ao ângulo.
  3. é externo ao ângulo.
    Angulo inscrito 1.svg
    Angulo inscrito 2.svg

1° Caso[editar | editar código-fonte]

Têm-se que , pois ambos são raios da circunferência.

Assim tem-se que é isósceles, o que implica e .

Ainda no triângulo tem-se como sendo um ângulo externo. Logo, pelo teorema do ângulo externo, tem-se:

.

Logo, e, como , vem .

2° Caso[editar | editar código-fonte]

Tomando um ponto , sendo a intersecção de com a circunferência e, sendo:

, , e .

Analisando esse ângulos, pode-se observar que é ângulo inscrito de arco correspondente e que é ângulo inscrito de arco correspondente .

Assim é possível relacionar esses dois ângulos, conforme foi demonstrado no 1° caso.

Logo, e, como , vem .

3° Caso[editar | editar código-fonte]

Tomando um ponto de intersecção de com a circunferência e, sendo:

, , e .

Com isso, tem-se, seguindo o que foi demonstrado no primeiro caso:

Angulo inscrito 3.svg

Visto que e , tem-se:

Logo, e, como , vem .

Logo, um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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  1. Dolce, Osvaldo. Fundamentos de matemática elementar 9: Geometria plana. São Paulo: Atual, 2013.