Abertura numérica

A abertura numérica em relação ao ponto P depende do semi-ângulo θ do cone máximo de luz que pode entrar ou sair da lente.

Em óptica, a abertura numérica, AN (na literatura, NA, do inglês numerical aperture) de um sistema óptico é um número adimensional que caracteriza o intervalo de ângulos sobre os quais o sistema pode receber ou emitir luz. A definição exata do termo varia um pouco entre as diferentes áreas da óptica.

Óptica geral

Na maioria das áreas da óptica, e especialmente em microscopia, a abertura numérica de um sistema óptico tal como uma lente objectiva é definido por

$\mathrm {AN} =n\sin \theta \;$

onde n é o índice de refração do meio no qual a lente está trabalhando (1,0 para ar, 1,33 para água pura, e acima de 1,56 para óleos), e θ é o semi-ângulo do cone máximo de luz que pode entrar ou sair das lentes. Em geral, este é o ângulo do raio marginal real no sistema. A abertura angular das lentes é aproximadamente duas vezes este valor (dentro da aproximação paraxial). A AN é geralmente medida em relação a um ponto de objeto ou imagem particular e irá variar à medida que o ponto é movido. Em microscopia, AN geralmente refere-se a uma abertura numérica de objeto-espaço salvo indicação em contrário.

Em microscopia, AN é importante porque indica o poder de resolução de uma lente. O tamanho do menor detalhe que pode ser resolvido é proporcional a λ/2AN, onde λ é o comprimento de onda da luz. Uma lente com uma abertura numérica maior irá ser capaz de propiciar a visualização de detalhes mais finos que uma lente com uma menor abertura numérica. Supondo-se qualidade óptica (difração limitada), lentes com maiores aberturas numéricas captam mais luz e irão geralmente fornecer uma imagem mais brilhante, mas darão menor profundidade de campo.

Abertura numérica é usada para definir o "tamanho de orifício" em formatos de disco óptico.

Abertura numérica versus número f

Abertura numérica de uma lente fina.

Abertura numérica não é usada normalmente em fotografia. Em vez disso, a abertura angular de lentes (ou um espelho) é expressa pelo número f, escrito $f$ ou $N$, o qual é definida como a razão da distância focal ao diâmetro da pupila de entrada:

$\ N=f/D$

Esta razão é relacionada a abertura numérica imagem-espacial quando a lente é focada ao infinito. Baseado no diagrama à direita, a abertura numérica imagem-espacial da lente é:

$\mathrm {NA_{i}} =n\sin \theta =n\sin \arctan {\frac {D}{2f}}\approx n{\frac {D}{2f}}$

assim $N\approx {\frac {1}{2\;\mathrm {NA_{i}} }}$, assumindo que a lente está a ser utilizada no ar ($n=1$).

A aproximação se mantém quando a abertura numérica é pequena, e é quase exata, mesmo em grandes aberturas numéricas, para lentes de câmera bem corrigidas. Para aberturas numéricas de menos de cerca de 0,5(números f maiores que aproximadamente 1) a divergência entre a aproximação e a expressão completa é menos que 10%. Além disso, a aproximação colapsa. Como Rudolf Kingslake explica, "É um erro comum supor que a relação [$D/2f$ ] é realmente igual a $\tan \theta$, e não $\sin \theta$ ... A tangente seria, naturalmente, correta, se os planos principais fossem realmente planos. No entanto, a teoria completa da condição do seno de Abbe mostra que se uma lente é corrigida para aberração coma e esférica, como todos as boas objectivas fotográficas devem ser, o segundo plano principal se torna uma parte de uma esfera de raio f centrado sobre o ponto focal, ..." Neste sentido, a definição tradicional de lente fina e a ilustração de número f é enganosa, e defini-la em termos de abertura numérica pode ser mais significativo.

Número f de "trabalho" ou "efetivo"

O número f descreve a capacidade de captação de luz da lente no caso em que os raios marginais do lado do objeto são paralelos ao eixo da lente. Este caso é comumente encontrado em fotografia, onde os objetos a ser fotografados estão muitas vezes longe da câmera. Quando o objeto não está distante da lente, no entanto, a imagem já não é formado no plano focal da lente, e o número f já não descreve exatamente a capacidade de captação de luz da lente, a abertura numérica do lado da imagem. Neste caso, a abertura numérica está relacionado com o que é às vezes chamado de "número f de trabalho" ou "número f efetivo". O número f de trabalho é definido pela modificação da modificando a relação acima, tendo em conta a magnificação (ampliação) do objeto à imagem:

${\frac {1}{2\mathrm {NA_{i}} }}=N_{\mathrm {w} }=(1-m)\,N,$

onde $N_{\mathrm {w} }$ é o número f de trabalho, $m$ é a magnificação da lente para um objeto a uma determinada distância, eo NA é definido em termos do ângulo do raio marginal como antes. A magnificação aqui é tipicamente negtiva; em fotografia, o fator é algumas vezes escrito como 1 + m, onde m representa o valor absoluto da magnificação; Em qualquer caso, o factor de correção é 1 ou maior.

As duas igualdades na equação acima são cada uma tomada por vários autores como a definição de número f de trabalho, como as fontes citadas ilustram. Elas não são, necessariamente, tão exatas, mas são muitas vezes tratadas como se fossem.

A situação real é mais complicada - como Allen R. Greenleaf explica, "Iluminância varia inversamente proporcional ao quadrado da distância entre a pupila de saída da lente e a posição da placa ou filme. Porque a posição da pupila de saída é geralmente desconhecida para o utilizador de uma lente, a distância focal conjugada traseira é usada em vez daquela; o erro teórico resultante assim introduzido é insignificante com a maioria dos tipos de lentes fotográficas."

Por outro lado, a abertura numérica do lado do objeto está relacionada com o número f por meio da ampliação (tendendo a zero para um objeto distante):

${\frac {1}{2\mathrm {NA_{o}} }}={\frac {m-1}{m}}\,N.$

Física de laser

Em física de laser, a abertura numérica é definida de forma ligeiramente diferente. Feixes de laser espalhados se propagam, mas lentamente. Longe da parte mais estreita do feixe, a propagação é aproximadamente linear com a distância—o feixe de laser forma um cone de luz no "campo distante". A mesma relação dá o NA,

$\mathrm {NA} =n\sin \theta ,\;$

mas θ é definido de forma diferente.

Feixes de laser normalmente não têm fronteiras afiladas, como o cone de luz que passa através da abertura de uma lente faz. Em vez disso, a irradiância cai gradualmente para longe do centro do feixe. É muito comum para o feixe ter um perfil gaussiano. Físicos de laser geralmente escolhem fazer θ a divergência do feixe: o ângulo de campo distante entre a direção de propagação e a distância a partir do eixo do feixe para a qual a irradiância cai para 1/e² vezes a irradiância total de frente de onda. O NA de um laser de feixe gaussiano é então relacionado com a sua área mínima por

$\mathrm {NA} \simeq {\frac {2\lambda _{0}}{\pi D}},$

onde λ₀ é o comprimento de onda no vácuo da luz, e D é o diâmetro do feixe no seu local mais estreito, medido entre os pontos de irradiância 1/e²("Largura total a e⁻² máximo"). Note-se que isto significa que um feixe de laser que é focado para uma pequena área vai espalhar-se rapidamente na medida que se afasta do foco, enquanto que um feixe de laser de grande diâmetro pode permanecer aproximadamente do mesmo tamanho ao longo de uma distância muito grande.

Fibras óticas

Uma fibra multimodo de índice n₁ com casca de índice n₂.

Uma fibra óptica multimodo irá somente propagar luz que entre na fibra dentro de um certo cone, conhecido como cone de aceitação da fibra. O semi-ângulo deste cone é chamado ângulo de aceitação, θ_max. Para fibra multimodo de índice degrau, o ângulo de aceitação é determinado apenas pelos índices de refração do núcleo e da casca:

$n\sin \theta _{\max }={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}},$

onde n₁ é o índice refrativo do núcleo da fibra, e n₂ é o índice refrativo da casca.

Quando um raio de luz é incidente de um meio de índice refrativo n para um centro de índice n₁, lei de Snell na interface meio-centro resulta

$n\sin \theta _{i}=n_{1}\sin \theta _{r}.\$

Da figura acima e usando trigonometria, tem-se:

$\sin \theta _{r}=\sin \left({90^{\circ }}-\theta _{c}\right)=\cos \theta _{c}\$

onde $\theta _{c}=\sin ^{-1}{\frac {n_{2}}{n_{1}}}$ é o ângulo crítico para a reflexão interna total, dado que:

Substituindo por sin θ_r na lei de Snell temos:

${\frac {n}{n_{1}}}\sin \theta _{i}=\cos \theta _{c}.$

Por elevar ao quadrado ambos os lados

${\frac {n^{2}}{n_{1}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{i}=\cos ^{2}\theta _{c}=1-\sin ^{2}\theta _{c}=1-{\frac {n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}}.$

Então,

$n\sin \theta _{i}={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}},$

a partir de onde a fórmula dada segue como acima.

Isto tem a mesma forma que a abertura numérica em outros sistemas ópticos, por isso tornou-se comum para definir a AN de qualquer tipo de fibra vem a ser

$\mathrm {NA} ={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}},$

onde n₁ é o índice refrativo ao longo do eixo central da fibra. Note-se que quando esta definição é usada, a conexão entre a AN e o ângulo de aceitação da fibra torna-se somente uma aproximação. Em particular, fabricantes frequentemente referem-se a "AN" para fibra de modo único baseados nesta fórmula, mesmo que o ângulo de aceitação para fibra de modo único seja bastante diferente e não possa ser determinado a partir dos índices de refração sozinhos.

O número de modos relacionado, o volume do modo, está relacionado com a frequência normalizada e, portanto, para a AN.

Em fibras multimodo, o termo abertura numérica de equilíbrio é algumas vezes usada. Refere-se à abertura numérica em relação ao ângulo extremo de saída de um raio emergindo de uma fibra na qual a distribuição de modo de equilíbrio tenha sido estbelecida.