Algarismo significativo

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Na matemática aplicada, algarismos significativos são utilizados para monitorar os erros ao se representar números reais na base 10.[1]

Excetuando-se quando todos os números envolvidos são inteiros (por exemplo o número de pessoas numa sala), é impossível determinar o valor exato de determinada quantidade. Assim sendo, é importante indicar a margem de erro numa medição indicando os algarismos significativos, sendo estes os dígitos com significado numa quantidade ou medição. Utilizando algarismos significativos, o último dígito é sempre incerto. Desta forma, é importante utiliza-los em trabalhos científicos.

Diz-se que uma representação tem n algarismos significativos quando se admite um erro no algarismo seguinte da representação. Por exemplo, 1/7 = 0,14 com dois algarismos significativos (já que o erro está na terceira casa decimal: 1/7 = 0,1428571429). Analogamente, 1/30 = 0,0333 com três algarismos significativos (erro na quinta casa decimal).

Para ilustrar, imagine que pediu a um amigo para medir a temperatura de água e ele disse-lhe que esta se encontrava à 22,0 °C. Neste caso, o algarismo duvidoso é o 0, pois não se sabe ao certo se a temperatura é por exemplo, 21,99 ou 22,01. Em suma tal remete -se ao facto dos arredondamentos serem realizados e nem sempre serem conhecidos. Para entender este conceito, imagine que um amigo seu lhe contou que na realidade a medição foi de 21,689. Nesse contexto pode-se introduzir o conceito de precisão e exactidão. 22 é um número exacto, porém 21,689 é um número mais preciso, precisará do valor preciso para realizar um cálculo matemático, por exemplo, mas didacticamente adopta-se o 22.

Identificando algarismos significativos[editar | editar código-fonte]

Algarismos significativos ---> Conjunto de algarismos corretos de uma medida mais um último algarismo, que é o duvidoso (zeros à direita são algarismos significativos e zeros à esquerda não são). Dada uma representação decimal:

  1. Os algarismos zero que correspondem às ordens maiores não são significativos. Exemplos: em 001234,56 os dois primeiros zeros não são significativos, o número tem seis algarismos significativos; em 0,000443 os quatro primeiros zeros não são significativos, o número tem três algarismos significativos.
  2. Os algarismos zero que correspondem às menores ordens, se elas são fracionárias, são significativos. Exemplo: em 12,00 os dois últimos zeros são significativos, o número tem quatro números significativos.
  3. Os algarismos de 1 a 9 são sempre significativos. Exemplos: em 641 o número tem três números significativos; em 38,984 o número tem cinco algarismos significativos.
  4. Zeros entre algarismos de 1 a 9 são significativos. Exemplo: em 1203,4 todos os cinco algarismos são significativos.
  5. Os zeros que completam números múltiplos de potências de 10 são ambíguos: a notação não permite dizer se eles são ou não significativos. Exemplo: 800 pode ter um algarismo significativo (8), dois algarismos significativos (80) ou três algarismos significativos (800). Esta ambiguidade deve ser corrigida usando-se notação científica para representar estes números, 8x102 terá um algarismo significativo, 8,0x102 terá dois algarismos significativos e 8,00x102 terá três algarismos significativos.
  6. As constantes têm um número arbitrariamente elevado de algarismos significativos; exemplos: o coeficiente 3 no cálculo do valor médio: (1,84 + 1,72 + 1,66) / 3; o número π.

Outros exemplos:

  • 0,5: tem 1 algarismo significativo;
  • 100: é Não Determinado (ND), pois acaba com um zero à direita do último dígito que não seja zero, sem a pontuação décimal; (necessita de referência/material divergente)
  • 0,00023: tem dois algarismos significativos, que são 23;
  • 052,6: tem 3 algarismos significativos;
  • 0,000200: tem três algarismos significativos, já que tem zeros à direita;
  • 755555,66: tem 8 algarismos significativos, porque 7,5 é um valor maior que 5.

A posição da vírgula não influi no número de algarismos significativos, por exemplo, o comprimento de 0,0240m possui três algarismos significativos e pode ter a posição da vírgula alterado de várias formas usando uma potência de dez adequada, e sem alterar o seu número de algarismos significativos. Veja abaixo:

0,0240m = 0,240x10−1m = 0,240dm
0,0240m = 2,40x10−2m = 2,40cm
0,0240m = 24,0x10−3m = 24,0mm

Observe que o número de algarismos significativos é sempre três, independentemente da forma que o número foi escrito e da posição de sua vírgula. Outro ponto importante é que o valor da medida é sempre a mesma, visto que: 0,0240m = 0,240dm = 2,40cm = 24,0mm.

Operações com algarismos significativos[editar | editar código-fonte]

Soma e subtração[editar | editar código-fonte]

Quando somamos dois números levando em consideração os algarismos significativos o resultado deve manter a precisão do operando de menor precisão.[2][3]

12,56 + 0,1236 = 12,6836 = 12,68

O número 12,56 tem quatro algarismos significativos e o último algarismo significativo é o seis que ocupa a casa dos centésimos. O número 0,1236 apresenta quatro algarismos significativos mas o último algarismo significativo, o seis ocupa a casa dos décimos de milésimos. O último algarismo significativo do resultado deve estar na mesma casa do operando de menor precisão, nesse exemplo é o 12,56. Portanto o último algarismo significativo do resultado deve estar na casa dos centésimos.

Ocorre o mesmo na subtração:

7,125 - 0,3 = 6,825 = 6,8.

Multiplicação e divisão[editar | editar código-fonte]

Em uma multiplicação levando em consideração os algarismos significativos o resultado deve ter o mesmo número de algarismos significativos do operando com a menor quantidade de algarismos significativos.

3,1415 x 180 = 5,6x102

O número 180 é ambíguo, e portanto não está claro se o 0 é significativo ou não. Em geral quando isso acontece, considera-se o 0 como não significativo, logo o 180 apresenta dois algarismos significativos, 1 e 8. Mas o número 3,1415 apresenta cinco algarismos significativos os 31415. O resultado deve ter apenas dois algarismos significativos, os 5 e 6.

Ocorre o mesmo na divisão:

4,02 : 2 = 2,01 = 2

a não ser que 2 é uma constante, cujo valor tem um número arbitráriamente elevado de algarismos significativos. Neste último caso, iamos obter:

4,02 : 2 = 2,01 (aqui 2 - é uma constante, com valor absolutamente certo)

Logaritmos comuns[editar | editar código-fonte]

Ao se trabalhar com logaritmos comuns (de base 10), observa-se que o número de algarismos após a vírgula (mantissa) é igual ao número de algarismos significativos no número original.

log (2,0x103) = 3,30     2 significativos no argumento→ 2 casas decimais no logarítmo.
log (45,0) = 1,653     3 significativos no argumento→ 3 casas decimais no logarítmo.

Referências

  1. Myers, R. Thomas; Oldham, Keith B.; Tocci, Salvatore. «2». Chemistry (Textbook). Austin, Texas: Holt Rinehart Winston. p. 59. ISBN 0-03-052002-9 
  2. SENSATO, Fabricio R. «Algarismos significativos». Consultado em 18 de junho de 2018.. Arquivado do original em 18 de junho de 2018 
  3. «Algarismos Significativos» (PDF). Fundação Brasileira de Tecnologia da Soldagem. Consultado em 18 de junho de 2018. 
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