Algoritmo de Gauss-Legendre

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O algoritmo de Gauss-Legendre é um algoritmo para calcular os dígitos de π. É notável por ser rapidamente convergente, com 25 iterações produz 45 milhões de dígitos corretos do π. Entretanto, o inconveniente é que usa muita memória e consequentemente não é usado em fórmulas como a Fórmula de Machin.

O método é baseado no trabalho individual de Carl Friedrich Gauss (1779-1815) e Adrien-Marie Legendre (1799-1855) combinado com os algoritmos modernos para multiplicação e raízes quadradas. Substitui repetidamente dois números pela sua média aritmética e pela sua média geométrica, a fim de aproximar a sua média aritmética-geométrica.

Algoritmo[editar | editar código-fonte]

  1. Valores iniciais:

2. Repita as seguintes instruções até que a diferença de e esteja na precisão desejada:

3. π é então aproximado como:

As 3 primeiras iterações dão (aproximações incluindo o primeiro dígito duvidoso):

O algoritmo tem uma natureza convergente de segunda ordem, o que significa que o número de dígitos corretos duplica a cada iteração do algoritmo.