Anel com identidade

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Em matemática, um anel com identidade, ou anel com unidade é um anel com elemento neutro da multiplicação, denominado 1. Esse elemento sempre é único.

Definições Alternativas[editar | editar código-fonte]

Alguns autores, como Serge Lang, definem anel com existência de elemento neutro para a multiplicação. Nesses casos anéis sem unidade são classificados como pseudoanéis.

Unicidade da Unidade[editar | editar código-fonte]

Proposição:Se um anel \mathcal{A} possui unidade, então ela é única.

Prova: A prova segue por absurdo supondo a existência de duas identidades.

Seja 1,1' \in \mathcal{A} identidades distintas, ou seja, \forall x \in \mathcal{A} temos  1 \cdot x = x e  1' \cdot x = x. Segue que  1 \cdot 1' = 1' mas 1' também é unidade, então 1 \cdot 1' = 1 portanto 1 = 1'

Unidades Versus Anel com Unidade[editar | editar código-fonte]

Dentro de um anel \mathcal{A} podemos definir o conjunto U(\mathcal{A})= \{a \in \mathcal{A} | \exists b \in \mathcal{A},  a \cdot b = 1 \} \subseteq \mathcal{A} , em palavras, U(\mathcal{A}) denota o conjunto de todos os elementos invertíveis de \mathcal{A} e o chamamos de Conjunto das Unidades. Portanto a noção de unidade não está associada ao elemento neutro da multiplicação 1_{\mathcal{A}} e sim a existência de inverso multiplicativo. Dessa forma, o termo unidades de um anel não contradiz a proposição acima pois é diferente do termo anel com unidade, o qual se refere à anéis que possuem elemento neutro para a multiplicação.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

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