Aproximação WKB

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Em física matemática, a aproximação WKB ou método WKB é um método de encontrar soluções aproximadas de equações diferenciais parciais com coeficientes variando no espaço. É geralmente utilizado para cálculos quase-clássicos na mecânica quântica, na qual a função de onda é reescrita como uma função exponencial, quase-classicamente expandida, e em seguida a amplitude ou a fase é variada lentamente.

O nome é um acrônimo para Wentzel-Kramers-Brillouin. Também é conhecido como o método LG ou método de Liouville-Green. Outras siglas, muitas vezes utilizadas para o método, são JWKB e WKBJ, onde o "J" significa Jeffreys.

Breve história[editar | editar código-fonte]

Este método tem esse nome em homenagem aos físicos Wentzel, Kramers, e Brillouin, que o desenvolveram em 1926. Em 1923, o matemático Harold Jeffreys tinha desenvolvido um método geral de aproximar soluções para equações diferenciais de segunda ordem lineares, que inclui a equação de Schrödinger. Porém, apesar de a equação de Schrödinger ter sido desenvolvida dois anos depois, Wentzel, Kramers e Brillouin aparentemente desconheciam esse trabalho anterior, de modo que Jeffreys muitas vezes não recebe créditos pelo método. A literatura do início da mecânica quântica contém um número de combinações de suas iniciais, incluindo WBK, BWK, WKBJ, JWKB e BWKJ.

As referências anteriores ao método são: Carlini em 1817, Liouville em 1837, George Green em 1837, Rayleigh em 1912 e Gans em 1915. Pode-se dizer que Liouville e Green são os criadores do método, em 1837, que também é comumente referido como o método Liouville-Green ou método LG.[1] [2]

A importante contribuição de Jeffreys, Wentzel, Kramers e Brillouin ao método foi a inclusão do tratamento dos pontos de retorno, que conectam as soluções evanescentes e oscilatórias em ambos os lados do ponto de retorno. Por exemplo, isso pode ocorrer na equação de Schrödinger, devido a um poço de energia potencial.

Método WKB[editar | editar código-fonte]

Geralmente, a aproximação WKB é um método para aproximar a solução de uma equação diferencial onde a derivada de maior ordem é multiplicada por um parâmetro ε pequeno. O método de aproximação é o seguinte:

Uma equação diferencial

deve admitir uma solução em forma de série assintótica de expansão

No limite . A substituição do ansatz acima na equação diferencial e o cancelamento dos termos exponenciais permitem que se resolva para um número arbitrário de termos na expansão. A teoria WKB é um caso especial de análise em escala múltipla.[3][4][5]

Um exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem

onde . Substituindo

resulta na equação

Como regra principal (assumindo, no momento, que a série será assintoticamente consistente), a expressão acima pode ser aproximada como

No limite ,o termo dominante é dado por

Assim, δ é proporcional a ε. Igualando-os e comparando as potências, temos

que pode ser reconhecido como a equação eikonal, com solução

Comparando as potências de primeira ordem de , vem

Esta é a equação de transporte unidimensional, que tem a solução

onde é uma constante arbitrária. Agora temos um par de aproximações para o sistema (um par porque pode ser positivo ou negativo). A aproximação WKB de primeira ordem será uma combinação linear de:

Os termos de ordem superior podem ser obtidos comparando-se as equações para potências mais altas de ε. Explicitamente,

para . Este exemplo vem do livro de Bender e Orszag (ver referências).

Precisão da série assintótica[editar | editar código-fonte]

A série assintótica para em geral é uma série divergente cujo termo geral começa a aumentar após um certo valor . Portanto, o menor erro obtido pelo método WKB é, na melhor das hipóteses, da ordem do último termo incluído. Para a equação

com uma função analítica, o valor e a magnitude do último termo podem ser estimados da seguinte forma (ver Winitzki 2005),

onde é o ponto em que precisa ser avaliado e é o ponto de retorno (complexo) onde , mais próximo de . O número pode ser interpretado como o número de oscilações entre e o ponto de retorno mais próximo. Se é uma função que varia lentamente,

o número será grande, e o erro mínimo histórico da série assintótica será exponencialmente pequeno.

Aplicação à equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

A equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo é

que pode ser reescrita como

A função de onda pode ser reescrita como a exponencial de outra função Φ(que está intimamente relacionada com a ação):

de modo que

onde indica a derivada de em relação a x. A derivada pode ser separada em partes real e imaginária, introduzindo as funções reaisAeB

A amplitude da função de onda é então enquanto que a fase é As partes real e imaginária da equação de Schrödinger tornam-se, então

Em seguida, faz-se a aproximação quase-clássica. Isto significa que cada função é expandida como uma série de potências em . A partir das equações, pode -se ver que a série de potências deve começar com pelo menos uma ordem de para satisfazer a parte real da equação. A fim de alcançar um bom limite clássico, é necessário começar com a potência mais alta possível da constante de Planck:

Para o termo de ordem zero, as condições sobre A e B podem ser escritas:

Se a amplitude varia suficientemente lenta em comparação com a fase (), segue que

que só é válida quando a energia total é maior do que a energia potencial, como sempre acontece no movimento clássico. Após o mesmo procedimento para o próximo termo, segue-se que

Por outro lado, se é a fase que varia lentamente (em comparação com a amplitude), () e então

que só é válido quando a energia potencial é maior do que a energia total (o regime em que o tunelamento quântico ocorre). Encontrando os termos da expansão de próxima ordem

Decorre do denominador que ambas as soluções aproximadas tornam-se singulares próximas do ponto de retorno clássico, em que e não podem ser mais válidas. Estas são as soluções aproximadas longe do potencial e abaixo do potencial. Longe do potencial, a partícula se move de maneira similar a uma onda viajante - a função de onda é oscilante. Abaixo do potencial, a partícula passa por variações exponenciais na amplitude.

Para completar a dedução, as soluções aproximadas devem ser encontradas em toda parte, e seus coeficientes devem ser combinados para construir-se uma única solução aproximada. A solução aproximada próxima aos pontos de retorno clássicos ainda está para ser encontrada.

Para um ponto de retorno clássico e perto de , o termo pode ser expandido em uma série de potências.

Para a primeira ordem, temos

Esta equação diferencial é conhecida como equação de Airy, e a solução pode ser escrita em termos das funções de Airy:

Esta solução deve se conectar às soluções acima e abaixo. Dados os dois coeficientes de um dos lados do ponto de retorno clássico, os 2 coeficientes do outro lado do ponto de retorno clássico podem ser determinados por esta solução local que os conecta. Assim, uma relação entre and pode ser encontrada.

Felizmente, as funções de Airy tendem assintoticamente ao seno, cosseno e funções exponenciais dos limites próprios. A relação pode ser encontrada como sendo da seguinte forma (muitas vezes referida como "fórmulas de conexão"):

Agora as soluções totais (aproximadas) podem ser construídas.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Adrian E. Gill (1982). Atmosphere-ocean dynamics Academic Press [S.l.] p. 297. ISBN 9780122835223. 
  2. Renato Spigler and Marco Vianello (1998). «A Survey on the Liouville–Green (WKB) approximation for linear difference equations of the second order». In: Saber Elaydi, I. Győri, and G. E. Ladas. Advances in difference equations: proceedings of the Second International Conference on Difference Equations : Veszprém, Hungary, August 7–11, 1995 CRC Press [S.l.] p. 567. ISBN 9789056995218. 
  3. Filippi, Paul (1999). Acoustics: basic physics, theory and methods Academic Press [S.l.] p. 171. ISBN 9780122561900. 
  4. Kevorkian, J.; Cole, J. D. (1996). Multiple scale and singular perturbation methods Springer [S.l.] ISBN 0-387-94202-5. 
  5. Bender, C.M.; Orszag, S.A. (1999). Advanced mathematical methods for scientists and engineers Springer [S.l.] pp. 549–568. ISBN 0-387-98931-5. 

Referências atuais[editar | editar código-fonte]

Referências históricas[editar | editar código-fonte]

  • Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla soluzione del problema di Keplero Milano [S.l.] 
  • Liouville, Joseph (1837). «Sur le développement des fonctions et séries..». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées [S.l.: s.n.] 1: 16–35. 
  • Green, George (1837). «On the motion of waves in a variable canal of small depth and width». Transactions of the Cambridge Philosophical Society [S.l.: s.n.] 6: 457–462. 
  • Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1912). «On the propagation of waves through a stratified medium, with special reference to the question of reflection». Proceedings of the Royal Society London, Series A [S.l.: s.n.] 86 (586): 207–226. Bibcode:1912RSPSA..86..207R. doi:10.1098/rspa.1912.0014. 
  • Gans, Richard (1915). «Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium». Annalen der Physik [S.l.: s.n.] 47: 709–736. 
  • Jeffreys, Harold (1924). «On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order». Proceedings of the London Mathematical Society [S.l.: s.n.] 23: 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428. 
  • Brillouin, Léon (1926). «La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives». Comptes Rendus de l'Academie des Sciences [S.l.: s.n.] 183: 24–26. 
  • Kramers, Hendrik A. (1926). «Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung». Zeitschrift für Physik [S.l.: s.n.] 39 (10–11): 828–840. Bibcode:1926ZPhy...39..828K. doi:10.1007/BF01451751. 
  • Wentzel, Gregor (1926). «Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik». Zeitschrift für Physik [S.l.: s.n.] 38 (6–7): 518–529. Bibcode:1926ZPhy...38..518W. doi:10.1007/BF01397171. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • Fitzpatrick, Richard (2002). «The W.K.B. Approximation».  (An application of the WKB approximation to the scattering of radio waves from the ionosphere.)