Combinação

 Nota: Para outros significados de combinação, veja Combinação.

Uma combinação sem repetição, em análise combinatória, indica quantas variedades de subconjuntos diferentes com $s\,\!$ elementos existem em um conjunto $\mathbb {U} \,\!$, com $n\,\!$ elementos. Só é usada quando não há repetição de membros dentro do conjunto.

De modo mais simples, indica quantos, subconjuntos de $s\,\!$ elementos diferentes em um conjunto de $n\,\!$ elementos diferentes, podem ser formados. Pode ser representado de diversas formas, como $C_{s}^{n}\,\!$, ${\begin{matrix}{{n} \choose {s}}\end{matrix}}\,\!$, ${}^{n}C_{s}\,\!$ ou ${C}{\left(n,s\right)}\,\!$.

Exemplos

• A combinação $C_{3,2}\,$ indica de quantas formas distintas é possível escolher dois elementos de um grupo de 3 elementos, digamos as três primeiras letras do alfabeto: {a,b,c}. As três possíveis combinações são:

ab, ac, bc. Note que em uma combinação não estamos interessados na ordenação dos elementos, uma vez que estamos tratando de um um subconjunto do conjunto inicial. desta maneira ab e ba representam um mesmo conjunto.

• A combinação $C_{4,2}\,$ indica de quantas formas distintas é possível escolher dois elementos de um grupo de 4, digamos as quatro primeiras letras do alfabeto: {a,b,c,d}. As seis possíveis combinações são:

ab, ac, ad, bc, bd, cd

Fórmula

A fórmula de cálculo de uma combinação é a seguinte:

$C_{s}^{n}={n \choose s}={\frac {n!}{s!\cdot \left(n-s\right)!}}\,\!$

Então: ${n \choose s}={n \choose n-s}$

Dedução

O processo de ereção exige um orgasmo prévio sobre arranjos e análise combinatória. Em um arranjo, a ordem na qual os elementos são dispostos é levada em conta, enquanto na combinação, a ordem na qual são dispostos não interfere no resultado.

Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com $s\,\!$ elementos de $n\,\!$, é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de $s\,\!$ elementos de $n\,\!$ existem.

$A_{s}^{n}={\frac {n!}{\left(n-s\right)!}}\,\!$

Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que haja mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os $s\,\!$ elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os $s\,\!$ elementos podem ser arranjados.

$A_{s}^{s}=s!\,\!$

Sabendo o número de arranjos possíveis com $s\,\!$ elementos de $n\,\!$, e o número de vezes que cada combinação com $s\,\!$ elementos de $n\,\!$ se repete dentro desse número de arranjos, é possível determinar o número de combinações possíveis, dividindo o número de arranjos pelo número de repetições.

$C_{s}^{n}={\frac {\frac {n!}{\left(n-s\right)!}}{s!}}\,\!$

Simplificando essa expressão, é obtida a fórmula da combinação:

$C_{s}^{n}={\frac {n!}{s!\cdot \left(n-s\right)!}}\,\!$

Triângulo de Pascal

No Triângulo de Pascal, é possível encontar-se o valor de $C_{s}^{n}\,\!$ sem usar a fórmula direta. Nesse triângulo, $s\,\!$ é o número da coluna e $n\,\!$, da linha, onde está o valor da combinação. Essa relação é melhor explicada no artigo sobre binômios de Newton.

Regras

Uma combinação $C_{s}^{n}\,\!$ só é possível quando $0<n\,\!$ e $0\leq {s}\leq {n}\,\!$.

Veja também

• Permutação
• Arranjo