Comutatividade

A adição é comutativa.

Em matemática, comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais alta, em que a ordem dos operandos não altera o resultado final. Ou popularmente, onde a ordem dos fatores não altera o produto.

Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta propriedade seja óbvia, ela é importante para organizar os tipos de operações de grupos de acordo a propriedade de comutatividade ou não. E mesmo na aritmética existem exemplos de operações que não são comutativas, como a subtração e divisão.

Definição

Dado um conjunto qualquer S e um operação binária f, dizemos que f é comutativa se:

$f(x,y)=f(y,x)\ \forall \ x,y\in S$

A notação matemática mais comum para operações binárias é através de um símbolo gráfico entre os dois operandos, por exemplo, escreve-se:

$f(x,y)=x\ \diamondsuit \ y\,$

Usando esta notação, a definição de comutatividade fica:

$x\ \diamondsuit \ y=y\ \diamondsuit \ x\ \forall \ x,y\in S\,$

Exemplos

Os exemplos ais comuns são:

• A adição de números naturais, racionais, reais e complexos.
• A multiplicação de números naturais, racionais, reais e complexos.
• Grupos abelianos, são grupos no qual a operação é comutativa.
• As funções (que podem ter mais de um argumento) mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum, para números inteiros positivos, são comutativas: mdc(42, 626, 452) = mdc(452, 42, 626) etc.

Ver também

• Anticomutatividade
• Associatividade

Referências

• Weisstein, Eric W. «Commutative» (em inglês). MathWorld