Critérios de divisibilidade: diferenças entre revisões
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Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o númer formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7. |
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Revisão das 01h27min de 22 de março de 2011
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Março de 2011) |
Critérios de divisibilidade são regras simples que permitem verificar se determinado número inteiro A é múltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades da sua representação decimal.
Um número inteiro A é divisível por um inteiro B (diferente de 0) se, e somente se, existir um k inteiro tal que:
A = kB
A seguir estão apresentados critérios de divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 1 até 12, representados em sua forma decimal. Outros números naturais maiores que 12 também têm regras de divisibilidade, mas em geral pouco práticas.
Divisibilidade por 1
Todo número inteiro é divisível por 1.
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos algarismos tem como resultado um número divisível por 3.O resto será o mesmo que o deixado na divisão da soma dos valores absolutos do número por 3.
Exemplos:
1)234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9,e como o nove é divisível por 3,então 234 é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando atender uma das seguintes condições:
- O penúltimo número é par, e o último é 0, 4 ou 8.
- O penúltimo número é ímpar, e o último é 2 ou 6.
Ex: 1000/4=250, 800/4=200
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando o último algarismo for 0 ou 5.
- 125
- 150
- 81475
Divisibilidade por 6
Qualquer número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo:
Exemplo: 4962 é um número par, portanto é divisível por 2; Para saber se esse número é divisível também por 3, basta somar seus algarismos. Se o resultado dessa soma for divisível por 3, então 4962 também será divisível por 3. (Confira: 4+9+6+2 = 21 ==> 21 é divisível por 3)
Como 4962 é divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3, conclui-se que ele é divisível por 6.
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o númer formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7.
- 245 → 5x2=10; 24-10=14
- 119 → 9x2=18; 11-18=-7
Divisibilidade por 8
São divisíveis por 8 todos os números que são divisíveis por 2 e 4 ao mesmo tempo ou quando o antepenúltimo algarismo for par e os dois últimos formem um múltiplo de 8 (isto é: 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96). Também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja também múltiplo de 8 (isto é: 04, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84 ou 92).
- 10840 → 8 é par e 40 é múltiplo de 8
- 15000 → 000
- 49736 → 7 é ímpar e 36 é múltiplo de 4, mas não de 8
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
- 72 → 7 + 2 = 9
- 1494 → 1 + 4 + 9 + 4 = 18 → 1 + 8 = 9
- 581472 → 5 + 8 + 1 + 4 + 7 + 2 = 27 → 2 + 7 = 9
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
- 50
- 15340
- 5050
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 caso a diferença entre o último algarismo (o algarismo da unidade) e o nº formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um nº com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como a regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplos de 11.
- 286 → 28 - 6 = 22 → 22 (por ser uma dezena dupla) é multiplo de 11
- 1331 → 133 - 1 = 132 → 13 - 2 = 11
- 14641 → 1464 - 1 = 1463 → 146 - 3 = 143 → 14 - 3 = 11
- 24350 → 2435 - 0 = 2435 → 243 - 5 = 238 → 23 - 8 = 15 → não é múltiplo de 11
Temos ainda outro método: Soma-se o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo; se a diferença da soma do 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo; for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11
- 94186565 → 9 + 1 + 6 + 6 = 22 → 4 + 8 + 5 + 5 = 22 → 22 - 22 = 0
- 56568143 → 5 + 5 + 8 + 4 = 22 → 6 + 6 + 1 + 3 = 16 → 22 - 16 = 6
Ou então se a soma dos algarismos de posições pares e a soma dos algarismos de posições impares tiverem o mesmo resto da divisão por onze, então o número tomado é divisível por onze.
- 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 →
- 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 →
Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 caso também seja divisível por 3 e por 4.
- 756 = 756:3 = 252; 756:4 = 189; 756:12 = 63
- 672 = 6+7+2=15; 15:3 = 5; 7 é ímpar e 2 é o último número; 672:12 = 56
Divisibilidade por 17
Um número é divisível por 17 quanto o quíntuplo do último algarismo, subtraído do número que não contem este último algarismo, tiver como resultado um número que é dividido por 17. Caso o número obtido ainda for grande, o processo é repetido, até que a divisão de o resultado 17. Em resumo: Tira-se o último algarismo e multiplica por 5 e subtrai do restante do número sem o respectivo número que foi multiplicado.
- 19074 → 4 x 5 = 20 → 1907 - 20 = 1887 → 7 x 5 = 35 → 188 - 35 = 153 → 3 x 5 = 15 → 15 - 15 = 0
- 221 → 1 x 5 = 5 → 22 - 5 = 17
- 238 → 8 x 5 = 40 → 23 - 40 = -17
Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quanto termina em 00, 25, 50 ou 75.
- 275 → 75
- 3825 → 25
Outros critérios de divisibilidade
- Potências de 2
Um número é divisível por quando seus últimos N algarismos forem 0 ou divisiveis por . Alguns exemplos:
- Divisibilidade por 16: () quando os últimos quatro algarismos forem 0 ou divisíveis por 16;
- Divisibilidade por 32: () quando os últimos cinco algarismos forem 0 ou divisíveis por 32;
- Divisibilidade por 64: () quando os últimos seis algarismos forem 0 ou divisíveis por 64.
- Números compostos com fatores não-múltiplos entre si
Um número será divisível por outro número nessas condições caso seja divisível também por cada um dos fatores que o compõem. Alguns exemplos:
- Divisibilidade por 14: quando é divisível por 7 e por 2 (7 x 2 = 14);
- Divisibilidade por 15: quando é divisível por 3 e por 5 (3 x 5 = 15);
- Divisibilidade por 24: quando é divisível por 3 e por 8 (3 x 8 = 24);
- Divisibilidade por 35: quando é divisível por 7 e por 5 (7 x 5 = 35);
- Divisibilidade por 50: quando é divisível por 2 e por 25 (2 x 25 = 50).
Entretanto, a regra não pode ser aplicada para números compostos de fatores múltiplos um do outro, como 16 (8 x 2) uma vez que todo múltiplo de 8 também é múltiplo de 2.